Matemáticas I Trigonometría (1ª Parte) Resolución de triángulos Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Razones trigonométricas de un ángulo agudo A B C a c b  Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Tres fórmulas imprescindibles Observa que, por comodidad, escribimos en lugar de Fórmula fundamental de la Trigonometría Relación entre seno, coseno y tangente Relación entre coseno y tangente Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Circunferencia goniométrica Radio = 1 Situemos los ángulos: El vértice, en el centro. Uno de los lados, coincidiendo con el semieje positivo de las X El otro lado, donde corresponda, abriéndose el ángulo en el sentido de las agujas del reloj. 225º Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Seno y coseno de un ángulo entre 0º y 360º  A 1 B  Primer cuadrante (entre 0º y 90º): Segundo cuadrante (entre 90º y 180º):  Tercer cuadrante (entre 180º y 270º):  Cuarto cuadrante (entre 270º y 360º): Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Tangente de un ángulo entre 0º y 360º Primer cuadrante (entre 0º y 90º): Segundo cuadrante (entre 90º y 180º): Tercer cuadrante (entre 180º y 270º):     Cuarto cuadrante (entre 270º y 360º): Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos mayores que 360º Los valores comprendidos entre 0º y 360º permiten expresar la medida de cualquier ángulo. Por esta razón, podemos darle sentido al ángulo 405º haciendo 405º = 360º + 45º (405º es una vuelta completa más 45º). Entonces las razones trigonométricas de 405º serán las mismas que las de 45º. Escribiremos en general  =  + 360º·k, donde k es un número entero cualquiera 45º 405º Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos negativos El ángulo 300º puede expresarse así 300º = 300º – 360º = –60º. Por eso, es frecuente designar con una medida negativa los ángulos comprendidos entre 180º y 360º. Es como cambiar de orientación.  –– 360º –  Por ejemplo, para reducir los ángulos 845º o 2450º a ángulos comprendidos entre 0º y 360º, incluso para ponerlos como negativos se procede así: 845º = 360º· º = 125º 2450º = 360º· º = 290º = 290º – 360º = –70º Observa que, en el ejemplo anterior 125º y 290º son, respectivamente, los restos de dividir 845 y 2450 entre 360. Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos opuestos Son ángulos opuestos aquellos que suman 0º. Por tanto, el opuesto de un ángulo  es – , ya que  + (–  ) = 0º.  –– sen  = –sen (–  ) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos: cos  = cos (–  ) tg  = –tg (–  ) Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos suplementarios Son ángulos suplementarios aquellos que suman 180º. Por tanto, el suplementario de un ángulo  es 180º – , ya que  + (180º –  ) = 180º.  180º–  sen  = sen (180º –  ) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios: cos  = –cos (180º –  ) tg  = –tg (180º –  ) Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos que difieren en 180º Son aquellos tal que al restar el mayor del menor resulta 180º. Si uno de ellos es  el otro es 180º + , ya que (180º +  ) –  = 180º.  180º +  sen  = –sen (180º +  ) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º: cos  = –cos (180º +  ) tg  = tg (180º +  ) Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos complementarios Son ángulos complementarios aquellos que suman 90º. Por tanto, el complementario de un ángulo  es 90º – , ya que  + (90º –  ) = 90º.  90º–  sen  = cos (90º –  ) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios: cos  = sen (90º –  ) Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Ángulos que difieren en 90º Son aquellos tal que al restar el mayor del menor resulta 90º. Si uno de ellos es  el otro es 90º + , ya que (90º +  ) –  = 90º.  90º+  sen  = –cos (90º +  ) Relación entre las razones trigonométricas de ángulos cuya diferencia es 90º: cos  = sen (90º +  )

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos. Casos de resolución de triángulos rectángulos Caso I: se conocen dos lados El tercer lado se calcula mediante el Teorema de Pitágoras. El ángulo que forman los dos lados conocidos se halla a partir de la razón trigonométrica que los relaciona. A B C a = 3 c = 7 b Caso II: se conocen un lado y un ángulo Otro lado se calcula mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El otro ángulo es el complementario del que conocemos. A B = 27º C a = 9 c b

Un resultado de utilidad: proyección de un segmento  A B A’A’ B’B’ r A ’ B ’ es la proyección de AB sobre la recta r. C Entonces, en el triángulo ABC: Y, como AC = A ’ B ’, entonces: Lo que viene a decir que la longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo que forman:

Otro resultado de utilidad: altura y área de un triángulo Entonces, Además, Área Es decir, que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. b  a h O sea, que la altura de un triángulo es igual al producto de uno de los lados laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.

La estrategia de la altura Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la longitud del lado c: Entonces: 23 m 50º 12 m c h La estrategia de la altura consiste en elegir adecuadamente una de las alturas de un triángulo cualquiera de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos que se puedan resolver con los datos que se tengan. Trazamos la altura h: Ahora, dividimos el lado c en dos: xy Por tanto Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Resolución de triángulos cualesquiera: Teorema de los senos Trazamos la altura h desde el vértice C. h H En un triángulo cualquiera de lados a, b, c, y de ángulos A, B y C se cumplen las siguientes igualdades: Demostración: Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Por tanto tenemos: Si trazamos la altura desde el vértice B, y procediéramos como anteriormente se obtendría la igualdad que nos falta: a b c C AB

Aplicaciones del teorema de los senos El teorema de los senos da lugar a tres igualdades: Con ellas podemos resolver los triángulos en los que los datos conocidos sean: Dos ángulos y un lado. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Posibles soluciones: Sin embargo la solución 153,42º no es válida pues entonces la suma de los ángulos del triángulo sería superior a 180º Por tanto: 5 cm 4 cm c C A 30º

Resolución de triángulos cualesquiera: Teorema del coseno h H Sabemos que en un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en un triángulo cualquiera de lados a, b, c, y de ángulos A, B y C: Demostración: a b c C A B Aplicando el Teorema de Pitágoras a los triángulos AHB y BHC, y teniendo en cuenta las igualdades (1) y (2): Trazamos la altura h sobre el lado b: (1) (2) Restando las dos igualdades anteriores: Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu

Aplicaciones del teorema del coseno El teorema del coseno relaciona los tres lados del triángulo con uno de sus ángulos: Por tanto, se podrá resolver con él cualquier triángulo en el que se conozcan los tres lados, o bien dos lados y un ángulo. Los casos son los siguientes: Conocidos los tres lados se puede calcular cualquier ángulo. Veamos un ejemplo: Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos se puede calcular el otro lado. Conocidos dos lados y el ángulo que forman se puede calcular el otro lado y otro ángulo, aunque para el cálculo de éste último habrá que aplicar el teorema de los senos. a = 15 cm c = 4 cm b C A 35º Pedro Castro Ortega lasmatematicas.eu