Algebra Lineal y Geometría Analítica Conferencia 4 Espacios Vectoriales 1

Sumario Definición de espacio vectorial real. Definición de subespacio vectorial. Sistemas de vectores. Combinación lineal. Producto escalar entre vectores de  n. Ortogonalidad de vectores. Norma de un vector de  n. 2

Objetivos Conocer e interpretar los conceptos de: espacio vectorial sobre , subespacio vectorial y combinación lineal de vectores. Identificar cuando estamos en presencia de un sistema de vectores. Conocer los conceptos de: producto escalar, ortogonalidad y norma de un vector de  n. 3

4 Definición de Espacio Vectorial Sea E un conjunto no vacío, con las operaciones adición y multiplicación por un número real, tales que cualesquiera sean x, y de E, la suma x + y E y para todo  número real, el producto x  E, entonces E es un espacio vectorial real si:

5 Definición de Espacio Vectorial E1. x+ y= y+ x cualesquiera sean x, y de E E2. (x+ y)+ z= x+(y+ z) cualesquiera sean x, y, z de E E3. Existe un elemento 0 en E tal que: x+0=x para cualquier x  E E4. Para todo elemento x E existe un elemento x’ E (opuesto de x) tal que: x + x’=0. E5. 1 x=x E6. (x) = ()x para cualesquiera ,  números reales y x  E E7. (+ )x = x+ x para cualesquiera sean ,  números reales y x  E E8. (x+y) = x+ y para cualesquiera sean x, y  E y  número real.

6 Son espacios vectoriales reales o  - espacios los conjuntos  2 y  3, en general, los conjuntos  n de todas las n-nuplas con las operaciones de suma y de producto de un número real. Ejemplo 1

7 Ejemplo 2 Sea Pn[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en x de grado menor o igual que n. Si p(x) y q(x) son los polinomios p(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+ a n x n q(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +…+ b n x n El polinomio suma es, p(x)+ q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x+ (a 2 + b 2 ) x 2 +…+ (a n + b n ) x n Y el producto de un número real α por un polinomio p(x) es, α p(x) = α a 0 + (α a 1 )x+(α a 2 )x 2 +…+ (α a n )x n Ejercicio Propuesto: Comprobar que se cumplen los axiomas E 1, E 2,.., E 8 de la definición 1.1

Ejemplo 3 Sea F ([a, b]) el conjunto de funciones reales definidas en el intervalo [a, b]. Si f(x) y g(x) son dos funciones de F ([a, b]) y α es un número real, (f+ g)(x) = f(x) + g(x), para todo x que pertenece a [a, b], (αf)(x) = αf(x), para todo x que pertenece a [a, b]. Con estas operaciones F ([a, b]) es un espacio vectorial real, cuyo vector nulo es la función idénticamente nula: O(x)= 0, para todo x que pertenece a [a, b]. El vector opuesto de f es la función –f definida como: (-f)(x) = -f(x), para todo x que pertenece a [a, b]. 8

9 Propiedades en los Espacios Vectoriales El elemento nulo de un espacio vectorial es único Para cada elemento de un espacio vectorial existe un opuesto. (Reglas de productos nulos) Para cualquier x elemento de un espacio vectorial real y α un escalar se cumple que: a)0. x = 0; b) α. O= O; c) Si α.x =0  α=0 ó x=0 (Reglas de simplificación) Para cualquier x, y elemento de un espacio vectorial real y a y b dos escalares, se cumple que: Si ax = bx y x≠ O, se cumple que a = b. Si ax = ay y a≠ 0, se cumple que x = y

10 Subespacio Vectorial Un subconjunto F no vacío de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial de E si F es un espacio vectorial con las operaciones de adición de vectores y producto de un vector por un número real definidas en E y restringidas a F

11 Caracterización 1 Subespacio vectorial Sea F un subconjunto de un espacio vectorial E. Entonces F es un subespacio vectorial de E si, y sólo si, se cumplen las condiciones siguientes: F contiene al vector nulo de E Si x e y están en F, entonces x + y está en F Si x está en F y a es un escalar, entonces ax está en F

12 Ejemplo En  3 se considera el subconjunto F = {(x 1, x 2, x 3 )   3 : x 3 = 0}. Comprobar que es un subespacio vectorial

13 Caracterización 2 Subespacio vectorial Una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto F no vacío de un espacio vectorial E sea un subespacio vectorial de E es que cualesquiera sean x e y vectores de F, 1 y 2 números reales se cumpla que: 1 x + 2 y  F

14 Ejemplo Probar que T es un subespacio vectorial de P 2 [x], T= {a+bx+cx 2  P 2 [x] : a +2b –c = 0}

15 Sistema de vectores Es todo conjunto ordenado de vectores de un mismo espacio vectorial. Ejemplos: Son sistemas de vectores los siguientes: A= {(1,-1) ;(2,3); (4,-2)}   2 y B = {(1,0) ;(0, 1)}   2 No es un sistema de vectores, D = {(1, 0, 0) ;(1, -1)}

16 Sistema de vectores Todo sistema de vectores que contenga solo un vector se llama sistema unitario. Ejemplo: C = {(1, 0, 2, 4,5)}  5

17 Combinación lineal Un vector x de un espacio vectorial E es combinación lineal de un sistema de vectores A ={a 1, a 2, …, a n } si existen números reales 1, 2, …, n tales que: x = 1 a a 2 +… + n a n

18 Ejemplo El vector (1, 8) de  2 es combinación lineal de los vectores {(1,2) ;(1,-1)}  2, pues existen números reales 1, 2 tales que: (1, 8)= 1 (1,2)+ 2 (1, -1) = =8 de donde 2 = -2 y 1 = 3 Se verifica entonces que: (1, 8)= 1 (1,2)+ 2 (1, -1) = 3 (1,2)+ (-2)(1, -1) = (3,6)+ (-2, 2)

19 Ejemplo Comprobar si los vectores u = (4, -2, 5) y v = (1, -1, -1) de  3 son combinación lineal de los vectores x 1 = (1, -1, 2) y x 2 = (2, 0, 1)

20 Ejemplo Comprobemos primero si u es combinación lineal de los vectores dados, se debe analizar si existen números reales 1, 2 tales que: u= 1 x x 2, o sea, (4, -2, 5)= 1 (1, -1, 2)+ 2 (2, 0, 1) Entonces Este sistema tiene como solución 1 = 2 y 2 =1, por tanto u es combinación lineal de los vectores x 1 = (1, -1, 2) y x 2 = (2, 0, 1)

21 Ejemplo Si v es combinación lineal de los vectores dados, se debe analizar si existen números reales 1, 2 tales que: v= 1 x x 2, o sea, (1, -1, -1) = 1 (1, -1, 2) + 2 (2, 0, 1) Entonces, Este sistema no tiene solución, es incompatible, por tanto v no es combinación lineal de los vectores x 1 = (1, -1, 2) y x 2 = (2, 0, 1)

22 Vectores canónicos El sistema de los vectores canónicos de  2 es {(1,0), (0,1)} Cualquier vector (a; b) se puede expresar como combinación lineal de los vectores canónicos de  2, pues, (a, b) = 1 (1,0)+ 2 (0, 1), 1 = a, 2 = b Se observa que los coeficientes de la combinación lineal coinciden con las mismas componentes del vector.

23 Se llama producto escalar a una función real, definida en E  E, tal que si x, y, z son vectores de E y  es un número real, verifica: P1. x. y = y. x P2 (  x). y =  (x. y) P3 (x+ y). z = x. z + y. z P4 x. x  0; x. x = 0 si y solo si, x=0 Definición producto escalar

24 Espacio vectorial euclídeo Un espacio vectorial euclídeo es un par (E, b) E es un  -espacio vectorial y b un producto escalar sobre E.

25 Producto escalar en los espacios vectoriales  n El producto escalar de dos vectores x= (x 1, x 2,…, x n ) e y = (y 1, y 2,…, y n ) es por definición: x. y = x 1 y 1 + x 2 y 2 +…+ x n y n Ejemplo: x= (-1, 1,3, -5);y = (-2,-1,-1, 0) de  4 x. y=-1(-2) +1(-1)+3.(-1)+(-5)0= -2

26 Dado un espacio E con producto escalar, se dice que los vectores x e y son ortogonales si y solo si, x. y = 0 Nota: Se puede afirmar que x e y son ortogonales sin tener que decir el orden. 0 es el único vector ortogonal a todos los vectores del espacio. Vectores ortogonales

27 Sistema de vectores ortogonal Un sistema de vectores S es ortogonal si y solo si x. y = 0 para todo x ≠ y de S. Se asume que el sistema formado por un solo vector es ortogonal. Ejemplo: Los vectores x= (1, 1,1) e y =(2,-1,-1) de  3 con el producto escalar canónico son ortogonales ya que, x. y = 1.2+1(-1)+1.(-1)= 0

28 Definición norma de un vector Sea V un espacio vectorial euclídeo. Se denomina norma del vector x ∈ E al número real positivo  x  =, que tiene sentido ya que x. x ≥ 0 para todo x ∈ E

29 Sistema de vectores ortonormal Dado un espacio E con producto escalar, se dice que un sistema de vectores S es ortonormal si y solo si S es un sistema ortogonal y || x ||= 1 para todo x de S. Los vectores de norma 1 se llaman unitarios.

A partir de todo vector no nulo, se puede encontrar un múltiplo unitario del mismo, el vector 30 Vectores Unitarios

Estudio independiente Estudie los ejercicios resueltos 2, 3, 5, 6, 7 Pág. 226 Resuelva de los ejercicios propuestos: 2 a y b, 6 A y B, 8 a y b Pág. 232 y 233 Completar el estudio de los elementos del espacio vectorial R n por el libro de texto 31