Binomio de Newton Raúl Plata Ortega Instituto Técnico Industrial Piloto raulpla@hotmail.com

Elevar potencias a cualquier cantidad Reglas para elevar a la "n" potencia a cualquier cantidad (Siendo "n" cualquier número Racional)

a) El número de términos es igual a " n+1" Ej: (x+y)4= x4 + 4x3y + 6x2y3 + 4xy3 + y4 1 2 3 4 5 = 5 = (n+1) b) El primer término comienza con un exponente " n " el cual, por cada término que coloquemos irá disminuyendo de uno en uno, mientras que el segundo término iniciará con un exponente cero e irá aumentando de uno en uno hasta alcanzar el valor igual a n, mientras el primer término descenderá hasta obtener un valor de cero en su exponente, con lo que queda igualado a 1 Ej: (x+y)5 = x5y0+5x4y1+10x3y2+10x2y3+5x1y4+x0y5 Teniendo en cuenta que x0 = 1 y y0 = 1 Apreciemos que x va disminuyendo hasta cero y “y” comienza en cero y llega hasta n como exponentes.

c) La suma de los exponentes siempre debe ser igual al exponente a que elevamos, en este caso " n " Ej: (x+y)6 = x6+6x5y1+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6x1y5+y6 Apreciando que la suma de los exponentes de cada término suman 6 d) Para hallar el coeficiente de cada uno de los términos lo hacemos empezando por el primer término que debe ser igual a 1 de coeficiente por el primer término, éste elevado a la n potencia, entonces multiplicamos el coeficiente por el exponente del primer término y lo dividimos por el lugar que ocupe el término (1, 2, 3, etc) Ej: Para elevar a (x+y)9 vamos a hallar los primeros términos para no extendernos mucho: = x9 ( Más el coeficiente por el exponente 9 y dividido por el lugar que ocupa, o sea el primero, todo esto es igual a 9, que es el coeficiente siguiente. Entonces aplicando las reglas anteriores tenemos ya: (x+y)9= x9 + 9x8y + 9*8÷ 2 (lugar) x7y2 + 36*7 ÷3 (lugar) x6y3….etc. así podríamos elevar una cantidad a cualquier potencia.

El número de veces que debe figurar en este caso x y "y" debe ser igual a la potencia a que estemos elevando o sea " n “ o sea que si la potencia a que elevamos es 6 entonces x y "y" deben figurar 6 veces f) La suma de todos los exponentes que figuren en el polinomio debe ser igual a " n2 + n ", o sea que si la potencia a que elevamos es 5 entonces la suma de los exponentes debe ser 25+5=30 Nota: Otra forma de aplicar el binomio de Newton es mediante el triángulo de Pascal añadiéndole otras caras triangulares en donde figuren las cuatro formas posibles que son: (x+y)n; (x-y)n; (x+y)-n ; (x-y)-n Todas estas caras colocadas en una pirámide de la siguiente forma

Cara frontal (x+y)n Cara lateral der. (x-y)-n Cara posterior (x-y)n Cara lateral Izq. (x+y)-n Para todas las caras (x±y)±n

Se puede apreciar que en cada una de las caras se puede hacer la realización hasta la quinta potencia mas o menos y al final tratar de colocar una que sea general a cualquiera de los casos que pueda incluirse en ella.

Para la base que es un cuadrado se coloca la forma que generalice todos los casos o sea (x±y)±n Para la forma (x-y)n utiliza los mismos términos que (x+y)n pero los signos van intercalados entre +, - ,+ , -, + etc. Para la forma (x±y)-n es igual a las dos anteriores, con la diferencia que cada uno de los términos irá bajo 1, ya que lo hacemos de la forma 1 (x±y)-n = (x±y)n n positivo Para que quede elevado a una potencia positiva pero siempre con la unidad (1) de numerador Para entenderlo mejor procedamos a explicarlo con el siguiente ejemplo: 1 (x-y)5 (x-y)-5= = X-5 - 5X-4y-1 + 10X-3y-2 - 10X-2y-3 + 5 X-1y-4 - y-5 = 1 X5 1 5X4y 1 10X3y2 1 10X2y3 1 5 Xy4 1 y5 - + - + -

Recordemos que Para la positiva; todos los términos serán positivos X- 5 = 1 x5 Para la demostración del triángulo es conveniente realizarlo de una manera dinámica o ya sea por medio de objetos.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 Para iniciar el triángulo colocamos primero el número 1 porque Pascal tomó el binomio de (X+y) y lo elevó a la potencia 0 (cero) y recordemos que cualquier número elevado a la potencia cero es igual a uno.

Para el siguiente renglón o sea {1 1 } según el triángulo es porque: (x+y)1 = x+y ; con coeficientes 1 y 1 respectivamente. Para (x+y)2 lo demostraremos con un cuadrado como lo dice la potencia a que lo vamos a elevar. x y X2 xy y2 Demos una dimensión x y una “y” Y lo sacamos por superficies x2 +xy + xy +y2 = x2 + 2xy +y2

Para la demostración del término siguiente de (x+y)3; como lo dice la palabra debe ser un cubo que consta de los siguientes elementos. x3 x Un cubo con las tres dimensiones de x => x3

x y x2y 3 elementos con dos dimensiones de x y una de “y” que será x2y; y como son tres => 3x2y

x y xy2 3 elementos; con dos dimensiones de “y” y una de x o sea xy2 Y como son 3 => 3xy2

y y3 Un cubo con las tres dimensiones de y quedando y3 Uniendo de cualquier manera estos 8 elementos nos resulta un cubo con x+y de arista