sólido de revolución INTEGRALES DEFINIDAS

integrantes: LUQUE, VERÓNICA A. GARCÍA, CARLA L.

Sólido de revolución Introducción: Un sólido de revolución es una región del espacio generada por la rotación de una región plana en torno a una recta (eje de rotación). Estudiaremos a continuación el problema del volumen determinado por dichas regiones.

1. Método DEL DISCO Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = wR2π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es wR2π, la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:

Fórmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

Para poder entender bien estas fórmulas debes saber que éstas se ocupan para calcular el volumen de cualquier función que te den al hacer rotar en cualquier eje que te pidan. Ahora te diremos los pasos que debes seguir para poder resolver los ejercicios que te daremos más adelante 1.-Debes saber graficar la función dada en el ejercicio 2.-Debes tener claro en que eje te piden hacer rotar la función 3.-Tener una idea de cómo será el volumen pedido 4.-Debes tener en cuenta entre qué intervalos te piden el volumen de la función 5.-Recién ahora puedes aplicar la fórmula

Este gráfico corresponde al sólido generado a f(x): Desarrollo .(Por fórmula se tiene que:)

EJERCICIOS RESUELTOS (Método de los discos) Ejemplo1) Calcule el volumen generado por la función f(x)= entre a=- y b= Esta es la gráfica correspondiente a f(x),entre los intervalos mencionados:

MÉTODO DE LA ARANDELA   Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura: .

Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.

Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función f y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así: Área de la arandela: En la figura anterior tenemos: Entonces, Factorizando ∏, nos queda,

Ahora podemos establecer la siguiente definición: DEFINICIÓN: EL VOLUMEN DEL SÓLIDO GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN R SOBRE EL EJE X(O ALGÚN EJE PARALELO A ÉL) VIENE DADO POR: Si el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que:

EJEMPLO: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por y y alrededor del eje x. Radio exterior va a estar dado por la curva (que es la mayor en ordenada) Radio interior por la curva (que es la mayor en ordenada)  

La región definida entre y rotando alrededor del eje x Los puntos de intersección serán:

Radio Interno: r (x) = Radio Externo: R(x) =

EVALUANDO LA INTEGRAL DEL VOLUMEN =

MÉTODO DE LOS CASCARONES O de los “CASQUETES CILÍNDRICOS” Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así: En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos  r = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1, el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen V de la forma siguiente:

FÓRMULA

EJERCICIOS RESUELTOS (Método de los cascarones) Ejemplo 1)Calcular el volumen que se forma al girar en el eje y la función, , en el intervalo Gráfica de la función

Desarrollo Aplicando la formula del método de los cascarones tenemos lo siguiente.:

OBSERVACIÓN :Para resolver este ejemplo por el método de los discos, los rectángulos deben tomarse perpendiculares al eje y .Cada uno sería un disco. Para hallar el radio de este disco habría que resolver x como una función de y. Ejemplo2) Calcular el volumen de una esfera de radio 1, para calcular el volumen de esta esfera usaremos el método de los anillos , para la gráfica de una semicircunferencia que gira en torno al eje x. Esto es para que se den cuenta que este método no sólo sirve para calcular el volumen de funciones que giran en el eje y

POR EJEMPLO… Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

El método de las secciones transversales Para calcular el volumen se podría pensar en utilizar el método de las secciones transversales. En este caso serían secciones horizontales

Pero… Las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Además es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso. y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 x = ?

En cambio… El método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en este caso. Consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.

Es importante entender bien la estructura geométrica involucrada en el método de los casquetes cilíndricos.

EJERCICIOS PROPUESTOS. MÉTODO DE LOS DISCOS. A)Demuestre que el volumen de un sector esférico(cono de helado)de radio R y abertura esta dada por B)Halla el volumen generado por la rotación , en torno al eje x , de las regiones encerradas por las curvas : 1) 2) 3)

MÉTODO DE LOS CASCARONES Encuentre el volumen de revolución obtenido al hacer girar en torno al eje y , las regiones cerradas por las curvas indicadas. 1) 2) 3) 4) 5)

EJERCICIOS: ”MÉTODO DE LA ARANDELA” Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficas de e , alrededor de eje x. Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la superficie comprendida entre la parábola y la circunferencia Hallar el volumen del sólido formado al girar la región limitada por las gráficas de , , , , alrededor del eje y . Un mecánico perfora un agujero a través del centro de una esfera de metal de 5 cm de radio, teniendo el agujero un radio de 3 cm. ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?