Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.ecuaciónderivadas Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones en derivadas parciales

Ejercicio 1. y´ + y cos x = senx cosx Paso 1. Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante P(x) = cos x Q(x) = senx cosx FI = e ∫cosx dx = e sen x Paso 2. Aplicar la formula ye ∫P(x) dx = ∫e ∫P(x) dx Q(x) dx + c y e ∫sen x = ∫e ∫sen x senx cosx dx + c Resolver la integral usando primero el método de integración por cambio de variable y luego el método de integración por partes CV 1. sen x = t -> cos x dx = dt resultado ∫e t t dt + c CV 2. Método de integración por partes u = t -> du = dt e t = v Por lo tanto ∫e t t dt = t e t - e t + c Paso 3. Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y" y e sen x = senx e sen x - e sen x + c y = sen x c e -sen x

Ejercicio 2. y´+ e x y = e 2x Paso 1. Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I. P(x) = e x Q(x) = e 2x F.I = e ∫e x dx = e e x Paso 2. Aplicar la formula ye ∫P(x) dx = ∫e ∫P(x) dx Q(x) dx + c y e e x = ∫e e x e 2x dx + c Sugerencia: Usar método de integración por cambio de variable y método de integración por partes. y e x =e x e e x - e x + c Paso 3. Despejar la variable "y" y = e e x c e -x

Ejercicio 1. x(6xy + 5) dx + (2x 3 + 3y) dy = 0 Probar el criterio de exactitud Paso 1. Integrar "M" con respecto a "x" Paso 2. Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N" 2x 3 + G´(y) = 2x 3 + 3y Paso 3. Despejar G´(y) e integrar con respecto a "y" G´(y) = 3y G(y) = 3∫ydy Sustituir G(y) en el paso "1" Solución general

Ejercicio 3. (3y + e x ) dx + (3x + cos y) dy = 0 Probar el criterio de exactitud Paso 1. Integrar "M" con respecto a "x" ∫(3y + e x )dx = 3xy + e x + G(y) Paso 2. Derivar este resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" 3x + G´(y) = 3x + cos y Paso 3. Despejar G´(y) e integrar con respecto a "y" G´(y) = cos y G(y) = ∫cos y dy = seny + c Sustituir el resultado en el paso "1" Solución General 3xy + e x + sen y = c

La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones, periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que Y al aplicar la transformada inversa