Plano cartesiano y Rectas en el plano Villa Macul Academia Villa Macul Academia Depto. De Matemática Prof. Lucy Vera NM3

Objetivos: Calcular distancia y el punto medio entre dos puntos del plano. Identificar la pendiente y coeficiente de posición en una ecuación de recta dada. Representar gráficamente ecuaciones de recta. Determinar la ecuación principal de la recta, dados dos puntos o dado un punto y la pendiente. Determinar si dos rectas son paralelas. Determinar si dos rectas son coincidentes. Determinar si dos rectas son perpendiculares. Ubicar puntos en un sistema tridimensional. Determinar la pendiente entre dos puntos.

5. Ecuación de la recta Contenidos 5.1 Ecuación General de la recta 5.2 Ecuación Principal de la recta 4. La recta 5.5 Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente 5.6 Ecuación de la recta dados dos puntos de ella 1. Distancia entre dos puntos 3. Pendiente entre dos puntos 2. Coordenadas del punto medio 5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta 5.4 Gráfica de la línea recta

7. Geometría en el espacio 7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio, Sistema tridimensional. 6. Rectas paralelas, rectas coincidentes y rectas perpendiculares

1. Distancia entre dos puntos La “distancia” entre dos puntos del plano P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula: d 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 Si dos puntos difieren sólo en una de sus coordenadas, la distancia entre ellos es el valor absoluto de su diferencia. La distancia entre (4,6) y (-5,6) es: |-5 – 4| = |-9| = 9 Ejemplo:

El “punto medio” M entre dos puntos del plano P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula: x 1 + x 2 y 1 + y M =, 2. Coordenadas del punto medio

Ejemplos: a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es: d 2 = (9 – (-3)) 2 + (-1 – 4) 2 d 2 = (9 + 3) 2 + (-5) 2 d 2 = d 2 = 169 d = 13 x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es: , M = M = (3, 1,5) d 2 = (x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 x 1 + x 2 y 1 + y M =, /

La pendiente entre los puntos: P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) se obtiene a través de la siguiente fórmula: Ejemplo: 1. La pendiente entre los puntos x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 (-4, -2) y (1, 7) es: 3. Pendiente entre dos puntos y 2 – y 1 x 2 – x 1 m = 7 – (-2) 1 – (-4) m = 9 5 OBS. La pendiente es igual a la tangente, la que permite calcular el angulo que tiene la recta con el eje “x”. m=tg( α)

Ejemplo: 2. La pendiente entre los puntos (8, 5) y (8, 10) es: x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 Como el denominador es cero, la pendiente NO existe. Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.  10 – 5 8 – 8 m = 5 0

Tipos de pendiente x y m = 0 x y NO existe m (Indefinida) x y x y m > 0m < 0

4. La recta Definición Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente. Ejemplos: 1. 5x + 6y + 8 = 0 2. y = 4x x + 4y = 7

5. Ecuación de la recta 5.1 Ecuación General de la recta Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales. Ejemplos: 1. 5x + 6y + 8 = x - 4y + 7 = x + 12y - 9 = 0 Obs. m= n=

5.2 Ecuación Principal de la recta Es de la forma: El coeficiente de posición (n), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,n). y = mx + n m : pendiente n : coeficiente de posición 1) y= 2x -3 m=2n=-3 Ejemplo: 2) y= 3x – 4 2 y=3 x – 2 2 m= n=-2

5.3 Ecuación de Segmentos o Simétrica de la recta a b x y

Ejemplo: Representación gráfica de: y = 2x Si un punto (x,y) pertenece a esta recta, entonces se debe cumplir la igualdad al reemplazarlo en la ecuación. Ejemplo: (1,5) pertenece a y = 2x Gráfica de la recta Para graficar una recta dada su ecuación, basta encontrar dos puntos de ella. x y

Ejemplos: 1. Dada la gráfica de la recta, encontrar su ecuación principal. n = 3. Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (n) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3. Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente 5 – 3 1– 0 m =  2 1 = 2 -2

2. En las siguientes ecuaciones hallar m y n: b) y = 4x c)6x – y+ 13 = 8 m = -6/-1 = 6 n = -5/-1 = 5 6x – y + 5=0 Luego, m = 6 y n = ¿Cuál será la pendiente y coeficiente de posición en ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ? a) y = x – 8 Para determinar m y n, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las fórmulas dadas para m y n: m = 4 y n = 0 m = 1 y n = -8

y – y 1 = m (x – x 1 ) 5.5 Ecuación de la recta, dado un punto de ella y la pendiente La Ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (x 1, y 1 ) y tiene pendiente “m”, se puede obtener a través de la siguiente fórmula: Ejemplo: La ecuación de la recta de pendiente m = -6, que pasa por el punto (3,-2) es: y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18 y = -6x + 16

5.6 Ecuación de la recta, dados dos puntos La Ecuación de la recta que pasa por los puntos: P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) se puede obtener a través de la siguiente fórmula: y – y 1 = (x – x 1 ) y 2 – y 1 x 2 – x 1

Ejemplo: La ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2, -3 ) y ( 5, 6 ) es: y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3) 5 – 2 y + 3 = (x – 2) 9 3 y + 3 = 3 (x – 2) y + 3 = 3x – 6 y = 3x – y = 3x – 9 x1x1 y1y1 x2x2 y2y2 y – y 1 = (x – x 1 ) y 2 – y 1 x 2 – x 1

Ejemplo 2 Dados los puntos A(3,-2) y B(4,5), encontrar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos. Al aplicar directamente la fórmula: /* -1

5.7 La ecuación a partir del gráfico: 6 5 x y 1° Debemos encontrar el punto de corte con el eje “y”, es decir, y=-5=n 2° Determinar la pendiente: m=, es decir, 3° Utilizando la forma principal: y = mx + n, obtenemos: Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta 4° También se puede usar la forma de segmentos:/*30 5x – 6y – 30=0 OBS: Ambas ecuaciones representan la misma recta.

6. Posiciones de dos rectas en el plano: Rectas paralelas: Se dice que dos rectas, L 1 y L 2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición. Ejemplo: L 1 : y = 5x +3 y L 2 : y = 5x - 10 (m = 5)

Rectas coincidentes: Se dice que dos rectas, L 1 y L 2 son coincidentes si tienen la misma pendiente y el mismo coeficiente de posición. Ejemplo: L 1 : y = 5x + 4 y L 2 : y = 10x Si las rectas son coincidentes, NO son paralelas.

Rectas perpendiculares: Se dice que dos rectas, L 1 y L 2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Ejemplo: L 1 : y = -5x +3 y L 2 : y = 2x (m = -5 ) 2 (m = 2 ) 5

Rectas y soluciones de sistemas de ecuaciones, ¿cómo se relacionan? Cada sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2, representa dos rectas en el plano. El tipo de sistema determina la posición relativa de las rectas en el plano y viceversa. Así, podemos decir que: - Un sistema compatible determinado (solución única), representará dos rectas secantes (distinta pendiente).

- Un sistema incompatible (sin solución), representará dos rectas paralelas en el plano (igual pendiente, distinto coeficiente de posición).

- Un sistema compatible indeterminado (con infinitas soluciones), representará dos rectas coincidentes en el plano (igual pendiente y coeficiente de posición).

Ejemplo: Determinar gráficamente la solución del sistema Ordenemos el sistema y luego grafiquemos ambas rectas:

Encontramos dos puntos por los que pase cada recta…

Graficamos ambas rectas…  Por lo tanto, el sistema tiene por solución el punto ( −3,2 ).  Nota que este es un buen método cuando las soluciones son números enteros, en general pequeños. El graficar no siempre es fácil y además si las soluciones son fracciones será más difícil determinar con exactitud las coordenadas del punto solución.

7. Geometría en el espacio 7.1 Coordenadas cartesianas en el espacio Sistema Tridimensional P (a, b, c) a: abscisa b: ordenada c: cota

Ejemplo: Q (2, 7, 6) a: abscisa b: ordenada c: cota Siempre los planos son perpendiculares entre sí, formando planos cartesianos. Plano XY (x,y,0) Plano YZ (0,y,z) Plano XZ (x,0,z)