Cálculo Diferencial

Cálculo Diferencial Es el análisis matemático de una relación matemática especial llamada función y cuyo principal objetivo es el estudio de cómo cambia el valor de una variable por efecto del cambio de otra variable relacionada con la primera. La operación matemática que nos permite este estudio es la DERIVADA

Relación matemática Es una igualdad algebraica de donde se obtienen parejas de valores los cuales están asociados por medio de una regla matemática, y en donde uno de los valores depende directamente del otro. Estos dos valores se conocen como las variables de la relación. Por tanto en cualquier relación matemática siempre hay cuando menos dos variables y uno o más valores constantes.

Variable En matemáticas , es una literal(letra) a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se designan usualmente con las últimas letras del abecedario las cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto.

Variable Variable dependiente Variable independiente Es la variable que toma su valor dependiendo de una regla específica y de los valores que tomen la(s) variable(s) independiente(s). Es la variable que puede cambiar libremente su valor, sin que este se vea afectado por alguna otra(s) variable(s).

Constante Es una cantidad o literal que tiene valor fijo; generalmente se representa con las primera letras del abecedario las cuales son a, b, c, d y e. Tome en cuenta que los números son también constantes.

Constante Constante arbitraria Constante absoluta Es una constante que se coloca sin seguir un criterio específico y que aunque es constante puede tomar más de un valor dependiendo del entorno. Generalmente se representa por las letras C o K. Es una constante que siempre posee el mismo valor

Regla de correspondencia Es la operación u operaciones matemáticas que establecen la forma en que los valores de la variable dependiente se relacionan con los valores de la variable independiente.

Por ejemplo: En un laboratorio médico se investiga el crecimiento de la bacteria que produce el cólera. Para ello se coloca la bacteria en una caja de Petri con agua y componentes nutrimentales. En la gráfica se representa el número de bacterias durante las primeras 2 horas del experimento. ¿Cuál es la expresión para la regla de correspondencia del número de bacterias contra el tiempo transcurrido? 𝒇 𝒕 =𝟏+ 𝒕 𝟐

Función Cuando una relación matemática genera parejas de valores de tal manera que a todos y cada uno de los valores de la variable independiente les corresponde una y solo una pareja en los valores de la variable dependiente se conoce como una función. Si representamos los valores de la variable independiente por 𝒙 y los de la variable dependiente por 𝒚 tenemos que la función tiene una notación como se muestra en el ejemplo 𝒚=𝟒𝒙−𝟕. El valor de la variable dependiente de una función también puede ser representada como 𝒇(𝒙) y se lee “efe de equis”, por lo que tendremos que 𝒇(𝒙)=𝟒𝒙−𝟕

Una función se puede representar de tres formas: Expresión algebraica Tabla Grafica 𝑦=𝑥+4 o 𝑓(𝑥)=𝑥+4 x y -3 1 -2 2 -1 3 4 5 6 7

Dominio El dominio de una función es el conjunto de los números reales que la variable independiente (𝒙) puede tomar. Por ejemplo, 𝒚=√𝒙 es una función si y solo si 𝒙≥𝟎 y, por lo tanto, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales no negativos o en notación intervalo [𝟎,∞).

Contradominio Es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (𝒚). También es conocido como codominio, recorrido o rango. El dominio y el contradominio de la función siempre son valores del sistema numérico real de los cuales usamos solo una porción.

Intervalo Es un subconjunto o porción de la recta numérica. Estos se clasifican en finitos e infinitos y se representan mediante desigualdades. A continuación se presentan los diferentes tipos de intervalos que se utilizarán para indicar el dominio o el contradominio de una función

Notación para el dominio y/o contradominio Notación de conjuntos Notación de intervalos 𝑥:𝑎<𝑥<𝑏 𝑎,𝑏 𝑥:𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑥:𝑎<𝑥≤𝑏 (𝑎,𝑏] 𝑥:𝑎≤𝑥<𝑏 [𝑎,𝑏) 𝑥:𝑥<𝑏 (−∞,𝑏) 𝑥:𝑥≤𝑏 (−∞,𝑏] 𝑥:𝑥>𝑎 (𝑎,∞) 𝑥:𝑥≥𝑎 [𝑎,∞) 𝑅 (−∞,∞)

Tipos de Intervalos Intervalo abierto Intervalo cerrado Es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b, donde a y b son los extremos del intervalo. (𝒂,𝒃)=𝒂<𝒙<𝒃 Se observa que los extremos no están incluidos Es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b, donde a y b son los extremos del intervalo y se incluyen en dicho intervalo. Se denota por [𝒂,𝒃]=𝒂≤𝒙≤𝒃

Tipos de Intervalos Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la derecha Es el conjunto de números reales mayores que a y menores o iguales que b. (𝒂,𝒃]=𝒂<𝒙≤𝒃 es decir, a no esta incluido en el intervalo y b si lo esta. Es el conjunto de los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [𝒂,𝒃)=𝒂≤𝒙<𝒃 es decir, b no esta incluido en el intervalo y a si lo esta.

Clasificación de las funciones Función explícita Función implícita Es toda función donde la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente, es decir, y=f(x). En otras palabras la literal de la variable dependiente está despejada en la función. Por ejemplo y=6x-3 Es toda función donde la variable dependiente no se expresa únicamente en términos de la variable independiente sino que se encuentra combinada matemáticamente con la variable independiente. Por ejemplo 2y-12x-5=0

Función algebraica 𝒇 𝒙 =𝟐𝒙+𝟓 𝒚= 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟑𝒙 𝒙−𝟐 𝒇 𝒙 =𝟔 𝒙 𝒚=𝟕−𝟑 𝒙 𝟐 Es aquella en la que la dependencia puede expresarse solo con las operaciones algebraicas: suma y resta con un número limitado de términos, multiplicación con un número limitado de factores enteros o fraccionarios, división y potencia con exponente, ya sea fraccionario, positivo o negativo.

Función Lineal Son los polinomios de primer grado del tipo y=mx+b, donde m es la pendiente, b es el punto de intersección con el eje y de la gráfica que representan: una recta inclinada. Dentro de ellas tenemos: Funciones constantes: Aquellas donde el valor de la variable dependiente es en realidad constante como 𝑦=5 𝑜 𝑓(𝑥)=5 y que gráficamente se observan como rectas horizontales. Función identidad: es la función en donde el valor de la variable dependiente es idéntico al valor de la variable independiente, es decir, 𝑦=𝑥 o 𝑓(𝑥)=𝑥 gráficamente es una recta inclinada que pasa por el origen y corta al cuadrante a la mitad

Función cuadrática Son las funciones de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c que gráficamente se representan mediante parábolas verticales

Función polinómica Son funciones de grado superior a dos y que generalmente contienen muchos términos. y=7 x 3 o f 𝑥 =2 𝑥 3 +3 𝑥 2 +𝑥+3

Función racional Son aquellos que se representan como una división de expresiones algebraicas y= 2 x 2 +3x x−2

Función radical Son las funciones en que el exponente es una fracción irreducible que son representadas con signo radical y= x 2 −5

Función trascendente 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝟑𝒙 𝐲= 𝒆 𝟐−𝒙 𝒇 𝒙 =𝒔𝒆𝒏 𝒙+𝟑 𝒚=𝑳𝒏 𝟑𝒙 Es una función que no puede ligarse a la variable independiente por medio de una de las cuatro operaciones algebraicas.

Función trigonométrica Es también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen funciones trigonométricas directas las que incluyen la variable independiente asociada con cualquiera de las seis razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. A su vez a cada una de ellas se les puede definir operaciones circulares contrarias a las primeras y se conocen como funciones trigonométricas inversas denotadas por arco seno, arco coseno, etc. y=𝑆𝑒𝑛 3𝑥

Función exponencial y= 𝑒 2𝑥 Es aquella en la cual la variable independiente interviene como exponente. y= 𝑒 2𝑥

Función logarítmica y=Log 3x y=Ln 5x Es aquella donde la variable independiente está afectada por la operación logaritmo y la cual puede corresponder a cualquier base. y=Log 3x y=Ln 5x

Operaciones con funciones Si f(x) y g(x) están definidas para todos los números reales, entonces es posible realizar operaciones numéricas como la suma, resta, multiplicación y división, con las respectivas funciones f(x) y g(x). Estas operaciones están definidas de la siguiente manera: 𝒇+𝒈 𝒙 =𝒇 𝒙 +𝒈 𝒙 𝒇−𝒈 𝒙 =𝒇 𝒙 −𝒈 𝒙 𝒇∙𝒈 𝒙 =𝒇 𝒙 ∙𝒈 𝒙 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒈 𝒙 ≠𝟎

Por ejemplo: Sean y . Determinar la suma, el producto y la división. 𝒇 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟏 g 𝒙 = 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 Sean y . Determinar la suma, el producto y la división. 𝒇+𝒈 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟏 + 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟏 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟐𝒙+𝟏+𝒙−𝟏 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟑𝒙 𝒙−𝟏 𝟐𝒙+𝟏 𝒇.𝒈 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒙−𝟐𝒙−𝟏 = 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 −𝒙−𝟏 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝟐𝒙+𝟏 = 𝟐𝒙+𝟏 𝒙−𝟏

Composición de funciones Es una operación entre funciones que consiste en utilizar una función como variable independiente de otra en un orden determinado es decir insertar una función en la variable independiente de otra con lo cual se obtiene una tercera función. (f ∘g)(x)=f(g(x)) Para poder llevar a cabo esta operación el contradominio de la función que se utiliza como variable independiente debe estar en el dominio de la función en donde se inserta.

Por ejemplo: Sean y . Determinar la composición de dichas funciones. 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟑 𝟐 Sean y . Determinar la composición de dichas funciones. g 𝒙 = 𝒙 𝒇∘𝒈 𝒙 =𝒇 𝒈 𝒙 =𝒇 𝒙 = 𝒙 −𝟑 𝟐 𝒈∘𝒇 𝒙 =𝒈 𝒇 𝒙 =𝒈 𝒙−𝟑 𝟐 = 𝒙−𝟑 𝟐