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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta Prof. Juan.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS Microeconomía Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta Prof. Juan Gabriel Rodríguez

2 Indice (1ª parte) Funci ó n de producción Eficiencia técnica Restricciones tecnológicas La relaci ó n marginal de sustitución técnica Rendimientos a escala El producto marginal

3 Cantidades zizi Notación cantidad del input i z = (z 1, z 2,..., z m ) vector de inputs cantidad de output Y Precios precio del input i w = (w 1, w 2,..., w m ) vector de precios de Inputs precio del output P wiwi

4 La relación básica entre output e inputs: Y F(z 1, z 2,...., z m ) Esto puede expresarse más compactamente como: Y F(z) La producción factible Un único output, varios inputs La función de producción vector de inputs F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs Distinguimos dos tipos de casos...

5 La producción es ténicamente eficiente La producción es (técnicamente) ineficiente Eficiencia técnica Caso 1 : Y F(z) Caso 2 : Y F(z)

6 z2z2 Y z1z1 0 F(z, z ) 1 2 o u t p u t input 2 i n p u t 1 Puntos no factibles Y > F(z 1,z 2 ) Puntos no factibles Y > F(z 1,z 2 ) Puntos tecnicam. eficientes Y = F(z 1,z 2 ) Puntos tecnicam. eficientes Y = F(z 1,z 2 ) Puntos factibles e ineficientes Y < F(z 1,z 2 ) Puntos factibles e ineficientes Y < F(z 1,z 2 ) La función de producción

7 Recuérdese que Y F(z) inputs necesarios Se selecciona un nivel de producto Y Se buscan todos los vectores factibles de inputs z … …el conjunto Z de cantidades necesarias de los inputs es: Z(Y) := {z | Y F(z)} La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología... Primero, veamos el caso estandar

8 no factibles F(z 1,z 2 ) < Y no factibles F(z 1,z 2 ) < Y z2z2 El conjunto de inputs necesarios Factibles, pero ineficientes F(z 1,z 2 ) > Y Factibles, pero ineficientes F(z 1,z 2 ) > Y técnicamente eficientes F(z 1,z 2 ) = Y técnicamente eficientes F(z 1,z 2 ) = Y _ Z(Y) z1z1

9 l z Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera La frontera va a ser contínua Además, se adoptan dos supuestos técnicos: si z=0, Y=0 si Y>0, z>0 _ Z(Y) Axioma 1: La tecnogía es contínua z2z2 z1z1

10 l z Dado un z que pertenece a Z(Y) y dado un z que no emplea menos cantidades que z Entonces z pertenece también a Z(Y) _ Z(Y) Axioma 2: Z es monótono z2z2 z1z1 z Significado: si aumentamos los inputs podemos producir al menos lo mismo

11 _ Z(Y) z z Axioma 3: Z es convexo z2z2 z1z1 Se eligen dos puntos Los puntos intermedios deben estar en Z significado: una combinación de técnicas factibles es factible Se dibuja una linea recta entre ellos

12 z 1 z 2 _ Z(Y) Esta región causa un problema Caso 1: Z no es convexo este punto no es factible

13 z 1 z 2 La pendiente no está definida en este punto _ Z(Y) Caso 2: Z es convexo pero no suave El único punto eficiente F(z 1,z 2 ) = Y El único punto eficiente F(z 1,z 2 ) = Y

14 Isocuantas Se selecciona un nivel de output Y Se busca el conjunto necesario de factores Z(Y) La isocuanta es la frontera de Z(Y) { z : F(z) = Y } F(z) F i (z) = z i. F j (z) F i (z) Si la función F es diferenciable en z entonces la Relación Marginal de Sustitución Técnica es la pendiente en z: Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta

15 { z | F(z) = Y } A z1z1 inputs requeridos para producir A inputs requeridos para producir A z2z2 Pend. = z 2 / z 1 La isocuanta es la frontera de Z La relación de inputs describe la técnica productiva

16 (Y) La relación marginal de sustitución técnica l La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica. l Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo. l La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica. l Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo. z1z1 z2z2 l A l A' F 1 (z)/F 2 (z) ratio de input

17 z 2 Q z 1 isocuanta Y = Y 0 Noción de la isocuanta l

18 (Y) La elasticidad de sustitución z1z1 z2z2 l A l A' l La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución d(z 2 /z 1 ) RMTS dln(z 2 /z 1 ) = = dRMTS (z 2 /z 1 ) dln(|F 1 /F 2 |) Mide la curvatura de la isocuanta l La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución d(z 2 /z 1 ) RMTS dln(z 2 /z 1 ) = = dRMTS (z 2 /z 1 ) dln(|F 1 /F 2 |) Mide la curvatura de la isocuanta F 1 (z)/F 2 (z) ratio de inputs Un caso especial...

19 Elasticidad de sustitución constante Incremento de la elasticidad de sustitución... z1z1 z2z2

20 Elasticidad de sustitución Alemania (trabajo y capital) [Kemfert (1998, EE)] Industria Química0,37 Acero0,50 Motor0,10 Papel0,35 Alimentos0,66

21 z 2 Q z 1 Rayo de expansión l 0 F(t z) = t F(z) Rendimientos constantes a escala Rendimientos Constantes a Escala

22 z 2 Q z 1 0 t >1 F(t z) > t F(z) Rendimientos crecientes a escala Rendimientos Crecientes a Escala

23 z 2 Q z 1 0 t >1 F(t z) < t F(z) Rendimientos decrecientes a escala Rendimientos Decrecientes a Escala

24 z 2 Q z 1 0 …esto nos proporciona un nuevo concepto Tomemos ahora una sección vertical... l

25 Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input F(z) z i Pmg i = F i (z) = Producto marginal Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente Varíe un input y deje los demás costantes Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y = F(z) Veamos su forma El producto marginal

26 z1z1 Y F(z)F(z) z1z1 Y F(z)F(z) z1z1 Y F(z)F(z) Posibles relaciones entre el output y un input z1z1 Y F(z)F(z) Tomemos el caso convencional…

27 Conjunto factible F(z)F(z) Y z 1 Conjunto de técnicas eficientes Relación entre el output y el input 1... Input 1 es esencial: Si z 1 =0, Y=0 Input 1 es esencial: Si z 1 =0, Y=0

28 z 1 Y F(z)F(z) F 1 cae con z 1 si F es cóncava Producto marginal pendiente = F 1 (z)

29 Práctica EJERCICIO (1): Dibuje las isocuantas correspondientes a: Y= z 1 + z 2 Y=min(z 1, z 2 ) Y= z 1 z 2 Y= z z 2 2 donde y 0 Indique los rendimientos a escala.

30 Práctica EJERCICIO (2): Calcule la elasticidad de sustitución correspondiente a: Y= { z 1 + z 2 } 1/ donde i 0 y 1.

31 Índice (2ª parte) -Maximización de beneficios: Demanda de factores. -Minimización de costes en el corto plazo: costes fijos y variables. Costes medios y marginales. -Minimización de costes en el largo plazo: costes medios y marginales. Rendimientos a escala. -Relación entre las curvas de coste a largo y corto plazo. La curva de costes medios a largo plazo.

32 La función objetivo Ingresos: Coste de los inputs: w i z i m i=1 P Y w i z i m i=1 =P Y – Beneficios: para los m inputs

33 Esquema... Problema primal Optimización: Problema dual

34 Optimización...sujeto a la restricción tecnológica... No podemos tener valores de output o inputs negativos Elegimos z que maximiza: Y F(z) w i z i m i=1 = P Y –...y a restricciones obvias: Y 0 z 0

35 Método de optimización L (... ) L (... ) = 0 z z * = … l Planteamos el Lagrangiano l Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. n e c e s a r i a l Verificamos las condiciones de segundo orden l Usamos las CPO para caracterizar la solución l Si F es diferenciable… c. s u f i c i e n t e

36 El equilibrio de la empresa Obtención del vector z que resuelve el siguiente problema optimizador: Max (z)=PY- w i z i s.a: Y = F(z) En el caso de dos bienes (m=2), obtención de z 1, z 2 que soluciona: Max (z 1, z 2 )=PY- w 1 z 1 - w 2 z 2 s.a: Y = F( z 1, z 2 ) donde P, w 1 y w 2 son parámetros conocidos

37 El equilibrio de la empresa Solución : / z 1 = 0 P Y/ z 1 = w 1 / z 2 = 0 P Y/ z 2 = w 2 P·Pmg z 1 = w 1 P·Pmg z 2 = w 2

38 Función de demanda de factores zizi wiwi P*PMg z i

39 El equilibrio de la empresa lOtra forma de ver la solución : RMST Interpretación gráfica... Pmg z 1 w1 w1 Pmg z 2 w2w2

40 (Y*) z 1 * y z 2 * óptimos z1z1 z2z2 l A l A' Pmgz 1 / Pmgz 2 = w 1 /w 2 z 2 * / z 1 * z1*z1* z2*z2* Demanda de factores z1z1 z2z2

41 z 1 * = z 1 d (P,w 1,...,w m ) z m * = z m d (P,w 1,...,w m ) Las funciones de demanda de factores

42 Esquema... Problema primal Optimización: Problema dual

43 l Elegimos un nivel de producto Y l Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P) l Maximizamos beneficios... l...minimizando los costes w i z i m i=1 Minimización de costes

44 l Dado un vector de precios de los factores w... l la recta isocoste es el conjunto de puntos en el espacio de los inputs... l...que consiguen un nivel de costes C= w i z i determinado. l Forman un hiperplano (línea recta)... Recta isocoste

45 z2z2 z1z1 Coste creciente w 1 z 1 + w 2 z 2 = c (constante) w 1 z 1 + w 2 z 2 = c' w 1 z 1 + w 2 z 2 = c" Líneas isocostes Usamos esto para derivar el óptimo

46 z2z2 z1z1 z* Minimización de costes l Coste decreciente ¿Qué condiciones cumple z*?

47 _______ = F i (z) w i F j (z) w j Dados los inputs i y j... Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia)

48 Y Corto plazo: costes fijos y variables C CP (Y) = CF + CV(Y) CF C CV CF CV C CP

49 Y Corto plazo: costes fijos medios y variables medios CMe CP (Y) = CFMe(Y) + CVMe(Y) C CV CF CVMe CMe CP

50 Rendimientos decrecientes a escala Rendimientos crecientes a escala Y Y Cme (Y) La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala Rendimientos a escala

51 Y Corto plazo: costes marginales CMg CP (Y) = CVMg(Y) C CV CF CVMe CMe CP CMg CP Cmg CP corta a CMe y CVMe en el mínimo

52 Y Y P Cme (Y) Cmg (Y) P Cmg corta a Cme en el mínimo Largo plazo: Costes medios y marginales C LP (Y) = CV(Y) CMe LP (Y) = CVMe(Y)

53 P Y Y1Y1 Cme LP (Y) Cme a corto plazo y largo plazo Cme CP (Y, K 1 )

54 P Y Y1Y1 CMg LP (Y) Cmg a corto plazo y largo plazo CMg CP (Y, K 1 )

55 P Y CMe LP CMg LP Envolvente CMe CP CMg CP

56 La oferta de producto Solución : / Y = 0 P = C(w,Y)/ Y P =Cmg Y Interpretación: I(Y) = P·Y Img(Y) = P Img Y = Cmg Y

57 Y La oferta de corto plazo P = CMg(Y) CMe CP CVMe CMg CP CVMe CMe CP CMg CP P Y1Y1 Y2Y2

58 Y La oferta de corto plazo CMe CP CVMe CMg CP CVMe CMe CP CMg CP Si P < CVMe(Y) ¡La empresa cierra! = S

59 Y La oferta de largo plazo CMe CMg CMe CMg Si P < CMe(Y) ¡La empresa cierra! = S

60 La curva de oferta agregada La oferta agregada: S i (p) n i=1 S(p = Suma horizontal de las ofertas individuales Ejemplos…

61 P S2S2 S1S1 P P' Ejemplo 1: dos empresas idénticas

62 S + S 1 2 P P' La oferta agregada

63 Oferta media… P P' ¡hay un punto extra! ¡hay un punto extra! S 1 + S 2 _________ 2 Obtenemos la oferta media... Comparamos S para una empresa Repetimos para 4 empresas…...para 8 empresas...para 16 empresas ¡Dos puntos más! ¡Dos puntos más!

64 P P' Oferta media S,D Demanda media Caso límite. Si hay suficientes empresas, el comportamiento medio es convencional

65 P S2S2 Ejemplo 2: dos empresas no idénticas S 1 +S 2 S1S1

66 Y1Y1 P Costes marginales Costes medios Equilibrio en el corto plazo (caso 1) Beneficios nulos

67 Y2Y2 P Costes marginales Costes medios Equilibrio en el corto plazo (caso 2) Beneficios positivos

68 Y3Y3 P Costes marginales Costes medios Equilibrio en el corto plazo (caso 3) Beneficios negativos

69 Equilibrio en el largo plazo Proceso (0) Suponemos que 1 empresa tiene beneficios positivos (1)Los costes de una nueva empresa, ¿son > PY - C?...en caso afirmativo paramos. En caso contrario… (2) Aumenta el número de empresas (3) Aumenta la producción de la industria (4) Precio cae (curva de D) y las empresas ajustan su producción (5) Vuelta a 1

70 Costes marginales Costes medios Y1Y1 P Y1Y1 1 Equilibrio en el largo plazo: 1 empresa

71 Costes marginales Costes medios Y 1, Y 2 P Y 2 Una empresa entra en el mercado...

72 costes marginales Costes medios Y 1, Y 2, Y 3 P Y 3... y otra...

73 costes marginales Costes medios Y 1,..., Y 4 P Y 4... y otra...

74 Costes marginales Costes medios Y 1,...,Y F P YFYF P = C/Y ¡Beneficios nulos! P = C/Y ¡Beneficios nulos! Equilibrio de largo plazo (entrada libre)

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