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Minimización de Costos. Una empresa minimiza costos si produce cualquier cantidad de su producto, Y 0, al menor costo posible. u C(Y) es el menor costo.

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1 Minimización de Costos

2 Una empresa minimiza costos si produce cualquier cantidad de su producto, Y 0, al menor costo posible. u C(Y) es el menor costo posible de producir Q unidades. u C(Y) e la función de costo total.

3 u Si la empresa se enfrenta a los precios de los factores w = (w 1,w 2,…,w n ) entonces la función de costo total se puede escribir como CT(w 1,…,w n,Y).

4 El problema de la minimización de costos u Suponga una empresa que emplea 2 factores para obtener un cierto producto. u La función de producción es Y = f(x 1,x 2 ). Asumimos el nivel de producción Y 0 como dado. u Dados los precios de los factores w 1 y w 2, el costo de la canasta de factores (x 1,x 2 ) es w 1 x 1 + w 2 x 2.

5 u Dados w 1, w 2 y dado Y, el problema de minimización de costos es Sujeto a

6 u x 1 *(w 1,w 2,Y) y x 2 *(w 1,w 2,Y) es la demanda condicional de factor del bien 1 y el bien 2. u El menor costo de producir Y unidades es entonces

7 Demanda condicional de factor u Dados w 1, w 2 y dado Y, ¿cuál es la canasta de factores de menor costo? u ¿Y cómo se estima el costo total?

8 Rectas Iso-Costo u La recta que contiene todas las canastas de factores que tienen el mismo costo es una recta iso-costo. u En otras palabras, dados w 1 y w 2, la recta isocosto para un CT de $100 es

9 u La recta iso-costo es u La pendiente es - w 1 /w 2.

10 C w 1 x 1 +w 2 x 2 C < C x1x1 x2x2

11 C w 1 x 1 +w 2 x 2 C < C x1x1 x2x2 pendiente = -w 1 /w 2.

12 La isocuanta de producción x1x1 x2x2 De todas las canastas de factores Que producen Q unidades ¿cuál es la de menor costo? f(x 1,x 2 ) Y

13 La minimización de costos x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) Y

14 x1x1 x2x2

15 x1x1 x2x2

16 x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2*

17 x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* En la canasta de factores de costo mínimo se cumple:

18 x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) Y x1*x1* x2*x2* Y : pendiente isocosto=pendiente isocuanta

19 x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) Y x1*x1* x2*x2* Es decir:

20 Ejemplo de minimización de costos con una función de producción Cobb-Douglas u La función de producción Cobb- Douglas es u Los precios de los factores son w 1 y w 2. u ¿Cuáles son las demandas condicionales de factor?

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26 es la demanda Condicional del Factor 1

27 Es la demanda condicional del factor 2

28 Así la canasta de factores de menor costo Para producir Q unidades es

29 Dados w 1 y w 2. Curvas de Demanda Condicional de Factor Y Y Y

30 dados w 1 y w 2.

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33 Ruta expansión producción

34 dados w 1 y w 2. ruta expansión producción Demanda cond. factor 2 Demanda cond. Factor 1

35 Ejemplo de minimización de costos con la función de producción Cobb-Douglas Dada la función de producción La canasta de factores de menor costo que genera y unidades es

36 En consecuencia, la función de costo total de la empresa es

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40 Ejemplo de minimización de costos con complementos perfectos u La función de producción de la empresa es u Los precios de los factores están dados, w 1 y w 2. u ¿Cuáles son las demandas condicionales de los factores? u ¿Cuál es la función de costo total de la empresa?

41 x1x1 x2x2 min{4x 1,x 2 } y 4x 1 = x 2

42 x1x1 x2x2 min{4x 1,x 2 } y

43 x1x1 x2x2 4x 1 = x 2 min{4x 1,x 2 } y ¿dónde está la canasta de factores de costo mínimo para producir y unidades?

44 x1x1 x2x2 x 1 * = y/4 x 2 * = y 4x 1 = x 2 min{4x 1,x 2 } y ¿dónde está la canasta de factores de costo mínimo para producir y unidades?

45 La demanda condicional de factores es y

46 y Entonces la función de costos es:

47 y

48 Costo Medio u Para niveles positivos de Y, el costo medio de producción es

49 Retornos a escala y costo medio u Las propiedades de los retornos a escala determinan cómo cambian los costos medios con el nivel de producción. u La empresa está produciendo y unidades. u ¿cómo cambia el costo medio si la empresa produce 2y unidades?

50 Retornos Constantes a Escala y Costo Medio u Si la empresa presenta retornos constantes a escala entonces al duplicar la producción tiene que duplicar el empleo de los factores.

51 u Si la empresa presenta retornos constantes a escala, entonces si se duplica la producción, de y a 2y, se requiere duplicar todos los factores. u El costo total se duplica.

52 u El costo medio no cambia.

53 Retornos decrecientes a escala y costo medio u Si la empresa presenta retornos decrecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y a 2y, se requiere más del doble de todos los factores.

54 u El costo total es más del doble.

55 u El costo medio se incrementa.

56 Retornos crecientes a escala y costo medio u Si la empresa presenta retornos crecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y a 2y, se requiere menos del doble de todos los factores.

57 u El costo total es menos del doble.

58 u El costo medio disminuye.

59 Retornos a escala y costo medio y r.a.e. constantes r.a.e. decrecientes r.a.e. crecientes CMe(y)

60 Retornos a Escala y Costo Total u ¿Qué implica esto en la forma de la función de costos?

61 y $ y 2y c(y) c(2y) pendiente = c(2y)/2y = CMe(2y). pendiente = c(y)/y = CMe(y). El CMe se incrementa si la empresa presenta retornos a escala decrecientes.

62 y $ c(y) y 2y c(y) c(2y) pendiente = c(2y)/2y = CMe(2y). pendiente = c(y)/y = CMe(y). El CMe se incrementa si la empresa presenta retornos a escala decrecientes.

63 y $ y 2y c(y) c(2y) pendiente = c(2y)/2y = CMe(2y). pendiente = c(y)/y = CMe(y). El CMe disminuye si la empresa presenta retornos a escala crecientes.

64 y $ c(y) y 2y c(y) c(2y) El CMe disminuye si la empresa presenta retornos a escala crecientes. pendiente = c(2y)/2y = CMe(2y). pendiente = c(y)/y = CMe(y).

65 y $ c(y) y 2y c(y) c(2y) =2c(y) pendiente = c(2y)/2y = 2c(y)/2y = c(y)/y entonces CMe(y) = CMe(2y). El CMe es constante si la empresa presenta retornos a escala constantes.

66 Costos en el corto y en el largo plazo u En el largo plazo la empresa puede variar la cantidad que emplea de todos los factores. u Suponga una empresa que no puede cambiar la cantidad que emplea del factor 2, x 2 unidades. u ¿Cómo es el costo de producir Y unidades en el corto plazo, comparado con el costo de producir Y unidades en el largo plazo?

67 u El problema de minimización de costos en el largo plazo es u El problema de minimización de costos en el corto plazo es Sujeto a

68 u El problema de minimización de costos en el largo plazo es el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x 2 = x 2. u Si el óptimo en el largo plazo para x 2 es x 2 entonces la restricción x 2 = x 2 no es realmente una restricción y los costos de producir Y unidades en el corto plazo y en el largo plazo son los mismos.

69 u El problema de minimización de costos en el corto plazo es, en consecuencia, el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x 2 = x 2. Pero, si el óptimo en el largo plazo es x 2 x 2 entonces la restricción x 2 = x 2 impide que la empresa alcance en el corto plazo los costos del largo plazo y provoca que el costo del corto plazo sea mayor que el costo del largo plazo.

70 x1x1 x2x2 Asuma tres niveles de producción.

71 x1x1 x2x2 En el largo plazo cuando la empresa es libre de escoger la cantidad a emplear de ambos factores, la canasta de factores de menor costo es...

72 x1x1 x2x2 Ruta expansión de la producción en el largo plazo

73 x1x1 x2x2 Los costos en el largo plazo son Ruta expansión de la producción en el largo plazo

74 u Ahora suponga que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x 1 = x 1.

75 x1x1 x2x2 Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son

76 x1x1 x2x2 Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son

77 x1x1 x2x2 Los costos de corto plazo son Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son

78 x1x1 x2x2 Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son Los costos de corto plazo son

79 x1x1 x2x2 Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son Los costos de corto plazo son

80 x1x1 x2x2 Ruta expansión en el corto plazo Los costos de largo plazo son Los costos de corto plazo son

81 u El costo de corto plazo es mayor al costo de largo plazo excepto en el nivel de producción donde la restricción de corto plazo es igual al óptimo del largo plazo. u Esto significa que la curva de costo total de largo plazo siempre tiene un punto en común con cada curva de costos de corto plazo.

82 y $ c(y) c s (y) La curva de costos de corto plazo siempre tiene un punto en común con la curva de costos de largo plazo y en el resto de otros puntos es mayor que la curva de costos de largo plazo.


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