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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 7 Rafael Salas noviembre 2010.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 7 Rafael Salas noviembre 2010

2 Extensiones del modelo básico... Problemas de agregación restricciones en la estructura de preferencias para la consistencia sobre consumidores Modelización de problemas económicos específicos oferta de trabajo ahorro Nuevos conceptos incertidumbre La incertidumbre expande la teoría del consumidor de forma interesante

3 Esquema... Modelización de la incertidumbre Axiomas Utilidad esperada Consumo: incertidumbre Prima de riesgo

4 Incertidumbre Nuevos conceptos Nuevos axiomas sobre el consumidor Nuevas restricciones sobre la estructura de las functiones de utilidad

5 Conceptos Estados de la naturaleza Ejemplo Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} Ejemplo Si existe incertidumbre sobre quién gobernará en USA en los próximos cuatro años. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={Rep, Dem} o quizás como: ={Rep, Dem, Ind} probabilidades p { p : p } consumo contingente {x : } Un vector de consumo sobre el espacio ex ante antes de la realización ex post después de la realización Otro ejemplo Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...} Otro ejemplo Si existe incertidumbre sobre el tiempo. Tenemos unos estados de la naturaleza como: ={sol, lluvia} o quizás como: ={sol, nublado, lluvia, niebla, nieve...}

6 Distinción ex-ante/ex-post tiempo Momento en el que se revela el estado de la naturaleza Las decisiones se realizan aquí La visión ex-ante La visión ex-post En el momento de la verdad La línea del tiempo Abanico de estados posibles Sólo un estado se realiza

7 Un enfoque simplificado... El espacio de estados es finito Se simplifica si los planes de consumos son escalares El consumo en el estado es x (un número real: consumos o resultados que se obtienen en el estado ) Un caso especial: Tomamos el número de estados=2 = { ROJO,AZUL } Representación gráfica...

8 Espacio de los estados: # x AZUL x ROJO O El espacio de consumo bajo incertidumbre: 2 estados Un consumo contingente en el caso 1-bien 2-estados Y 0 resultado si AZUL ocurre resultado si ROJO ocurre 45° Los componentes de un plan de consumo contingente en el caso de 2 estados Consumos con certidumbre perfecta

9 ¿Qué podemos decir sobre las preferencias? Hemos expandido el espacio de bienes Son bienes contingentes al estado: Estados finitos Si hay un número N de estados posibles entonces......en vez de n bienes tenemos n N bienes La teoría del consumo se puede aplicar automáticamente Axiomas estandar sobre las preferencias apropiados son necesarios Pero requieren una reintrepretación veamos

10 Axiomas sobre preferencias Completitud Transitividad Continuidad Monotonía Dominancia estocásica Convexidad (estricta) Diferenciabilidad Independencia Para asegurar la existencia de curvas de indiferencias y la función de utilidad Para dar forma a las curvas de indiferencia y a la función de utilidad

11 Preferencias y sus probabilidades p consumo contingente {x : } Se establecen sobre: Si entonces se establecen sobre: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) En lo que sigue x es un número real: es como si fuera una elección sobre loterías

12 Completitud p p x x : Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) ó (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

13 Transitividad p p p x x x : Dados (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ), (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). si (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

14 Continuidad: implicaciones x AZUL x ROJO O Preferencias no cotínuas Y 0 Imponemos continuidad huecos no huecos Un plan de consumo contingente Y 0 E Buscamos el punto E dada la continuidad La renta se conoce como el equivalente de certeza de Y 0

15 Monotonía (débil) p x x : Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

16 Monotonía x AZUL x ROJO O El plan de consumo contingente Y 1 es preferido a Y 0 Y 1 Y 0

17 Monotonía (estricta) p x x : Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Con x 1 > x 1 y x 2 x 2. Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

18 Dominancia estocástica p p x : Dados cualesquiera (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) y (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Si x 1 >x 2 y si p 1 >p 1 y p 2 < p 2. Entonces: (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 )

19 Dominancia estocástica: ejemplo (100,10; 0.7,0.3) (100,10; 0.5,0.5)

20 Convexidad (estricta) p x x : Dados dos arbitrarios (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Para todo (x 1, x 2 ) =(t x 1 +(1-t) x 1, t x 2 +(1-t) x 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ) t

21 Convexidad x AZUL x ROJO O Dados dos arbitrarios consumos contingentes Y 0 yY 1 Y 0 Y 1 Puntos en el interior de la línea Y 0 Y 1 como Y 2 representa una combinación de Y 0 y Y 1 Y 2 representa un menor riesgo Si U es estrictamene cuasicóncava Y 2 es preferido estrictamente a Y 0 Y 2

22 Independencia p x : La utilidad sobre una lotería compuesta depende sólo de las probabilidades netas sobre los resultados últimos. Dada una lotería L= (x 1, L;p 1,p 2 ), donde L= (x 1,x 2 ;p 1,p 2 ). Entonces: (x 1, L;p 1,p 2 ) (x 1,x 2 ; p 1 +p 2 p 1, p 2 p 2 ).

23 Independencia: ejemplo Dada (100,L;0.5,0.5) donde L= (100,50;0.5,0.5) Es indiferente a (100,50;0.75,0.25) Implica estructura lineal y aditiva en probabilidades

24 Un resultado clave Dados los axiomas anteriores:...las preferencias tienen que pertenecer a la clase de la utilidad esperada de von Neumann- Morgenstern: UE(x p p u x donde u( x es una función cuasi-cóncava, independiente del estado Herstein y Milnorm (1953), Econometrica

25 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM x AZUL x ROJO O ¿Cuál es su pendiente sobre la línea de 45º? Una típica C.I. Todas tienen la misma pendiente sobre la línea de 45º p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL

26 Implicaciones de la función de utilidad esperada de vNM(2) x AZUL x ROJO O p ROJO – _____ p AZUL p ROJO – _____ p AZUL Dado un consumo contingente ExEx Resultado (renta) media Y 0 Y 1 Y Prolongamos la línea desde Y 0 a Y hasta Y 1 Por convexidad de las preferencias: UE(Y) UE(Y 0 ) un resultado útil

27 ExEx x ( AZUL ) x ( ROJO ) l A l M - p ( ROJ ) p (AZUL) l E PR= Ex - la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo... De nuevo trazamos la línea desde el consumo contingente A... La pendiente es el ratio de probabilidades Y corta a la diagonal en......la renta media Nos sirve para definir... La prima de riesgo

28 u u(x)u(x) x1x1 x x2x2 u( x 1 ) u(x 2 ) ExEx u(Ex) Eu(x )Eu(x ) la cantidad que estamos dispuesto a sacrificar para eliminar el riesgo La prima de riesgo de nuevo dada la utilidad de dos resultados posibles El resultado esperado y la utilidad del resultado esperado La utilidad esperada y el equivalente de certeza La prima de riesgo de nuevo

29 La prima de riesgo depende de... La curvatura de la función de utilidad (aversión al riesgo) y de la dispersión de x 1 y x 2, dado p Una aproximación de PR: El primer término es el coefficiente de Arrow-Pratt de aversión al riesgo

30 Práctica 1 ( ): Fácil (A) Qué prefiere un consumidor: una casa valorada en 1 millón de u.m. con una probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01 ó una casa valorada en 2 millones con una probabilidad de pérdida de 0,005. Medio (B) Compara la opción L1=(2, 1; 0.5, 0.5) con: L2=(1.5, 1.2; 0.5, 0.5) L3 =(1.5; 1.5; 0.5, 0.5) Difícil (C) Compara la opción L1=(10, 5; 0.6, 0.4) con: L2=(8, 8; 0.6, 0.4) L3 =(11, 4; 0.6, 0.4) L4 =(11, 3; 0.6, 0.4) L5 =(11, 3.5; 0.6, 0.4) L6 =(9, 7; 0.6, 0.4) L7 =(9, 6; 0.6, 0.4)

31 Práctica 2 ( ): Difícil En el partido de tenis del domingo pasado entre Federer y Ferrer estaban las apuesta 1,1 a 1 y 6,1 a 1, respectivamente. Calcule las probabilidades implícitas de victoria de cada jugador. Calcule igualmente las tasa de beneficios de la agencia de apuestas. Explique los supuestos asumidos en esos cálculos.

32 Práctica: (1) Un consumidor posee una casa valorada en 25 millones de u.m.. La probabilidad de que ésta sea totalmente destruida por un incendio (en cuyo caso perdería todo su valor) es de 0,01. (a) Si las preferencias están representadas por la función de urilidad esperada u(x)=x 1/2, donde x es la riqueza del consumidor al final del año, ¿aceptaría el consumidor asegurar completamente la casa por u.m.? (b) Suponiendo que el riesgo del incendio es el mismo para todos los consumidores,¿sería ésta una cuota de seguro aceptable para una compañía de seguros? (suponga que la compañía es neutral con respecto al riesgo).¿Cuál es la cuota máxima de seguro que está dispuesto a pagar el consumidor?¿y la cuota mínima que está dispuesto a ofrecer la compañía?¿qué relación hay entre estas cuotas, el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la lotería que representa la propiedad de la casa sin seguro?

33 Práctica: (2) Un individuo tiene unas preferencias por la función de utilidad esperada u(x)= x 1/2, donde x es su riqueza. Se le ofrece una lotería L=(4,9;0.2,0.8), donde las ganancias están expresadas en millones de u.m.. Determine el equivalente de certeza y la prima de riesgo para ese individuo si su riqueza inicial es 0 millones, 50 millones y 100 millones de u.m.¿Y si su función de utilidad esperada fuera u(x)=ln x? Compara y comenta los resultados. ¿Cuál es la relación entre la riqueza y el grado de aversión al riesgo?

34 Práctica: (3) El propietario de un comercio valorado en 64 millones de ptas. Se enfrenta a la probabilidad del 1% de que en un año cualquiera un incendio destruya totalmente el local. Las preferencias del individuo vienen dadas por la función de utilidad U(X)=X 1/2, donde X es la riqueza al final del año. (a)Calcula la utilidad esperada del individuo y el equivalente de certeza. ¿Estaría dispuesto a vender el comercio por 60 millones de ptas.? ¿Y por 63 millones? (b)Una compañía de seguros ofrece una póliza anual que cubre todo el riesgo a una cuota de 1 millón de ptas. ¿Aceptaría la oferta? (c)Considera ahora que el individuo dispone, además del comercio, de 1 millón de ptas. en efectivo. Una empresa le ofrece un equipo de prevención de incendios que reduciría al 0,5% la probabilidad del incendio. Determine si estaría dispuesto a pagar ptas. por el alquiler. ¿Cuál es la cantidad máxima que el individuo está dispuesto a pagar por el alquiler de dicho equipo?

35 Práctica: (4) En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de u.m. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W 1/2 y sus riquezas iniciales son de u.m. (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores. (b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión. (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?

36 Práctica: (5) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W 1/3. (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

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