Sucesiones..

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1 Sucesiones.

2 Sucesiones. ÍNDICE. 1. SUCESIONES.
2.  SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES 3.  SUCESIONES MONÓTONAS 4.  SUCESIONES ACOTADAS 5. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES 6. OPERACIONES CON SUCESIONES 7.  CÁLCULO DE LÍMITES ELEMENTALES 8.  LÍMITE DE LA SUMA DE SUCESIONES 9.  LÍMITE DEL PRODUCTO DE SUCESIONES 10. LÍMITES DEL COCIENTE DE SUCESIONES 11. LÍMITES DEL TIPO Infinito/Infinito 12. LÍMITES DEL TIPO Infinito - Infinito 13. LÍMITES DE LA POTENCIA DE DOS SUCESIONES 14. EL NÚMERO e 15. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 1infinito 16. LOGARITMO DE UN NÚMERO 17. LOGARITMOS DECIMALES Y NEPERIANOS O NATURALES 18. PROPIEDADES DE LOGARITMOS 19. CAMBIO DE BASE LOGARÍTMICA

3 Sucesiones  Una SUCESIÓN de números reales es una aplicación que le asocia a cada número natural un número real, es decir una función: De tal forma que la sucesión se escribe por sus imágenes o también .Donde ai es el término i de la sucesión. Ejemplo: En la sucesión de números reales 2, 4, 6, 8, 10, …. , el término 1 es 2, el término 2 es 4, y así sucesivamente. Se denomina TÉRMINO GENERAL de una sucesión a la expresión algebraica general de cada uno de sus términos. Ejemplo: La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … , tiene por término general. Una SUCESIÓN de números reales se puede representar gráficamente, o bien por sus valores en la recta real, indicando sobre cada punto el término al que hace referencia, o bien en el plano, representando en el eje de abscisas los números naturales (que hacen referencia al término n-ésimo) y en el eje de ordenadas los valores de la sucesión .

4 Sucesiones Ejemplo: La sucesión 2, 4, 6, 8, 10, … , que tiene por término general , la podemos representar en la recta real:. O la podemos representar en el plano

5 Sucesiones  Una SUCESIÓN de números reales puede venir determinada por: Una propiedad característica:. Ejemplo: Los números naturales múltiplos de 3, que son 3, 6, 9, 12, 15, … , 99, … . Su término general: Ejemplo: La sucesión de término general an = 3 n + n – 1, tiene por términos: 3, 7, 11, 15, 19, … , Por una relación de recurrencia: Ejemplo: Obteniendo la sucesión

6 Progresión aritmética

7 Ejemplo de Progresión aritmética
Ejemplo: La suma de todos los números impares desde el 1 hasta el 100 es:

8 Progresión geométrica

9 Ejemplo de Progresión geométrica
Ejemplo: Para calcular la suma de los 10 primeros términos de la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

10 Sucesiones monótonas crecientes

11 Sucesiones monótonas decrecientes

12 Sucesiones monótonas

13 Sucesiones acotadas superiormente

14 Sucesiones acotadas inferiormente

15 Sucesiones acotadas

16 Propiedades de las sucesiones

17 Ejemplos de propiedades de las sucesiones

18 Operaciones con sucesiones

19 Ejemplos de operaciones con sucesiones

20 Límites de operaciones con sucesiones

21 Cálculo de límites elementales

22 Cálculo de límites elementales

23 Límites de sumas de sucesiones

24 Ejemplo de límites de sumas de sucesiones

25 Límites de producto de sucesiones

26 Ejemplo de límites de producto de sucesiones

27 Límites de cociente de sucesiones

28 Ejemplo de límites de cociente de sucesiones

29 Cociente de polinomios

30 Ejemplo de cociente de polinomios

31 Cociente de polinomios

32 Diferencia entre expresiones sin radicales
Si el límite de una diferencia de diversas expresiones es una determinación de la forma  - , bastará con que efectuemos la diferencia de dichas expresiones algebraicas y posteriormente calcular el límite. Ejemplo:

33 Diferencia entre expresiones con radicales
Si el límite de una diferencia de diversas expresiones que contienen una raíz, es una determinación de la forma  - , bastará con que multipliquemos por una fracción cuyo numerador y denominador sea la expresión conjugada y posteriormente calcular el límite. Ejemplo:

34 Límite de potencias de dos sucesiones
Dadas las sucesiones (an) y (bn), con bn ≥ 0 para todo n, para el cálculo del límite: Hay que tener en cuenta que si lim n an = a y lim n bn = b, obtenemos: Lim n  ∞ (bn) Lim n  ∞ (an) - ∞ < 0 > 0 + ∞ Indeterm.  (0,1) ab 1 > 1

35 Diferencia entre expresiones con radicales
Ejemplos:

36 El número e Si (an) es una sucesión que tiende a infinito, se cumple: Donde e es un número irracional, e 2, … Ejemplo:

37 Indeterminación de la forma e elevado a infinito
Los límites de la forma 1+ y 1-  son del tipo er para algún número real r, y se resuelven mediante manipulaciones algebraicas que impliquen el número e Ejemplo:

38 Logaritmo de un número Ejemplos:
El logaritmo de un número x (x>0) en una base a { (0, + ∞ ) – {1} }, se expresa y se define como sigue: Ejemplos:

39 Logaritmo decimal y neperiano o natural
Cuando la base de un logaritmo es a = 10, denominamos logaritmo decimal y denominamos por log x Ejemplo: Cuando la base de un logaritmo es a = e, denominamos logaritmo natural o neperiano y denominamos por ln x Ejemplo:

40 Propiedades de los logaritmos
Ejemplo:

41 Cambio de base de logaritmos
Es decir: Ejemplo:

42 Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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45 Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas
Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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