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Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez

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Presentación del tema: "Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez"— Transcripción de la presentación:

1 Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez
Depto. de Tecnologías de la Información ITESM, Campus Guadalajara

2 Teoría de conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9  A es un elemento del conjunto A la_luna  Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.

3 Teoría de conjuntos  Es el conjunto vacío, ||=0.
Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto.  Es el conjunto vacío, ||=0.

4 Teoría de conjuntos Los números naturales Los números enteros
Algunos conjuntos importantes: Los números naturales Los números enteros Los números racionales { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc} Los números irracionales Los números reales

5 Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B  A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B  A  xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B  A, si y solo si, B  A pero B  A. B  A  B  A  A  B

6 Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B  A, y A  B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B  A. B = A  B  A  A  B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto: Ac= {x| xU  xA}

7 Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: (Ac)c = A Ac A = U

8 Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos
Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A  B = {x | x  A  x  B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x  A  x  B}

9 Propiedades de conjuntos
Leyes asociativas A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Leyes conmutativas A  B = B  A A  B = B  A Leyes distributivas A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Leyes de Identidad: A   = A A  U = A

10 Propiedades de conjuntos
4. Leyes de idempotencia A  Ac= U A  A = A 5. Leyes de acotación A  U = U A   =  6. Leyes de absorción A  (A B) = A A  (A B) = A 7. Leyes de involución (Ac)c = A

11 Propiedades de conjuntos
8. Leyes 0/1 c = U Uc =  9. Leyes de De Morgan (A  B)c = Ac  Bc (A  B)c = Ac  Bc

12 Ejercicios a). A– (B  C) = (A – B)  (A – C)
1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B  C) = (A – B)  (A – C) b). A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

13 Preliminares Operaciones con Conjuntos
Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x  A  y  B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X  A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}

14 Inducción Matemática Definición
Sea el conjunto C = {x  N| P(x)}. Si se satisface: P(1) es verdadero. Si se cumple que para un k arbitrario (k  N): De suponer P(k), logramos demostrar P(k+1) Entonces C = N (C es el conjunto de los Naturales) Ejemplo:

15 Inducción Matemática Ejercicios Demuestre que:
…+(3+5n) = 2.5n2+5.5n Demuestre que para todo n que pertenece a los naturales, xn-1 es divisible entre x-1. Si n es un número natural y 1+x > 0, entonces: (1+x) n  1 + nx Considere el triangulo siguiente: Encuentre una expresión para la suma del renglón i-ésimo y demuestre que es correcta. = 1 = 8 = 27 = 64 = 125

16 Generalización de Conjuntos
Sea M un conjunto de índices cualquiera: , para algún , para algún


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