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Relaciones y Funciones
Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor – Investigador
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Relaciones Def. Sean A1, A2, …, An una secuencia de conjuntos. Definimos una relación como un subconjunto del producto cartesiano A1x A2x…x An.
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Propiedade de una Relación
a). Reflexiva x.(xRx) b). Irreflexiva x. xRx c). Simétrica x.y. (xRy yRx) d). Antisimétrica x.y. [(xRy yRx) x=y] e). Transitiva x.y. (xRy yRz xRz)
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Relaciones Def. Si una relación R, es reflexiva, simétrica y transitiva, decimos que es una relación de equivalencia. Una relación de equivalencia es importante pues divide al dominio en clases de equivalencia.
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Relaciones Def. Una relación R, que satisface las propiedades de ser ireflexiva, antisimétrica y transitiva se denomina una relación de orden parcial. Def. Una relación de orden parcial, R, es llamada relación de orden total, si además satisface la siguiente propiedad: xy. (xRy yRx)
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Funciones Def. Sean dos conjuntos arbitrarios A y B. Una función f:AB es una relación R enA x B, que satisface lo siguiente: DR = A; es decir, para toda x A, existe un y B, tal que (x,y) esta en R. Cada elemento x A, tiene asociado uno solo de B. Esto es: xA, y1,y2B, [(f(x)=y1 f(x)=y2) y1= y2] Es decir, dos parejas distintas no pueden tener el mismo primer elemento.
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Funciones Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es inyectiva, si se satisface que: a1, a2A, [ f(a1) = f(a2) a1=a2 ] Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es sobreyectiva o suprayectiva, si se satisface Imf=B, es decir: bB, aA, tal que f(a)= b Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.
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Cardinalidad y Conjuntos Infinitos
Def. Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva que va de los elementos de A a los elementos de B. Def. Se llama un conjunto contable a aquel conjunto que es finito o que puede ser colocado en relación uno-a-uno con el conjunto de los números naturales N.
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Ejercicios 3. Demuestre que la función f: Z Z, definida como
1. Demuestre los siguientes enunciados: a). Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, existen entre ellos al menos dos relaciones posibles (pudiendo ser la misma). b). Sean A = { a, b } y B = { 1, 2 }, entonces, entre A y B existen 16 posibles relaciones. 2. Defina una función f: Z Z (Z es el conjunto de los enteros), tal que satisfaga las condiciones que a continuación se muestran: a). f sea inyectiva pero no sobreyectiva. b). f sea sobreyectiva pero no inyectiva. c). f sea biyectiva. 3. Demuestre que la función f: Z Z, definida como f(n) = 2n (nZ), es inyectiva.
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Ejercicios (cont.) 4. Un conjunto se dice que es contable, si es un conjunto de cardinalidad finita o si su cardinalidad es igual a la de los números naturales, N. Demuestre que el conjunto resultado de la unión de dos conjuntos contables, es contable.
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