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Relaciones y Funciones Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor – Investigador

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Presentación del tema: "Relaciones y Funciones Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor – Investigador"— Transcripción de la presentación:

1 Relaciones y Funciones Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor – Investigador

2 Relaciones Def. Sean A 1, A 2, …, A n una secuencia de conjuntos. Definimos una relación como un subconjunto del producto cartesiano A 1 x A 2 x…x A n.

3 Propiedade de una Relación a). Reflexiva x.(xRx) b). Irreflexiva x. xRx c). Simétrica x. y. (xRy yRx) d). Antisimétrica x. y. [(xRy yRx) x=y] e). Transitiva x. y. (xRy yRz xRz)

4 Relaciones Def. Si una relación R, es reflexiva, simétrica y transitiva, decimos que es una relación de equivalencia. Una relación de equivalencia es importante pues divide al dominio en clases de equivalencia.

5 Relaciones Def. Una relación R, que satisface las propiedades de ser ireflexiva, antisimétrica y transitiva se denomina una relación de orden parcial. Def. Una relación de orden parcial, R, es llamada relación de orden total, si además satisface la siguiente propiedad: xy. (xRy yRx)

6 Funciones Def. Sean dos conjuntos arbitrarios A y B. Una función f:A B es una relación R en A x B, que satisface lo siguiente: D R = A ; es decir, para toda x A, existe un y B, tal que (x,y) esta en R. Cada elemento x A, tiene asociado uno solo de B. Esto es: x A, y 1,y 2 B, [(f(x)=y 1 f(x)=y 2 ) y 1 = y 2 ] Es decir, d os parejas distintas no pueden tener el mismo primer elemento.

7 Funciones Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es inyectiva, si se satisface que: a 1, a 2 A, [ f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2 ] Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es sobreyectiva o suprayectiva, si se satisface Imf=B, es decir: b B, a A, tal que f(a)= b Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

8 Cardinalidad y Conjuntos Infinitos Def. Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva que va de los elementos de A a los elementos de B. Def. Se llama un conjunto contable a aquel conjunto que es finito o que puede ser colocado en relación uno-a-uno con el conjunto de los números naturales N.

9 Ejercicios 1. Demuestre los siguientes enunciados: a). Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, existen entre ellos al menos dos relaciones posibles (pudiendo ser la misma). b). Sean A = { a, b } y B = { 1, 2 }, entonces, entre A y B existen 16 posibles relaciones. 2. Defina una función f: Z Z ( Z es el conjunto de los enteros), tal que satisfaga las condiciones que a continuación se muestran: a). f sea inyectiva pero no sobreyectiva. b). f sea sobreyectiva pero no inyectiva. c). f sea biyectiva. 3. Demuestre que la función f: Z Z, definida como f(n) = 2n ( n Z), es inyectiva.

10 Ejercicios (cont.) 4. Un conjunto se dice que es contable, si es un conjunto de cardinalidad finita o si su cardinalidad es igual a la de los números naturales, N. Demuestre que el conjunto resultado de la unión de dos conjuntos contables, es contable.


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