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Publicada porAsunción Silverio Modificado hace 10 años
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Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez ITESM, Campus Guadalajara
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Teoría de conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = {x| x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9 A es un elemento del conjunto A la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.
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Teoría de conjuntos Es el conjunto vacío, ||=0.
Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos |A| a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto. Es el conjunto vacío, ||=0.
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Teoría de conjuntos Los números naturales Los números enteros
Algunos conjuntos importantes: Los números naturales Los números enteros Los números racionales { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2, , etc} Los números irracionales Los números reales
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Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B A xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A. B A B A A B
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Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A. B = A B A A B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado Ac, es el conjunto: Ac= {x| xU xA}
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Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: (Ac)c = A Ac A = U
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Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos
Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x A x B}
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Diagramas de Venn A – (B U C) B – (A U C) C – (A U B) (A C) – B
(B C) – A (A B) – C A B C
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Propiedades de conjuntos
Leyes asociativas A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Leyes conmutativas A B = B A A B = B A Leyes distributivas A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Leyes de Identidad: A = A A U = A
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Propiedades de conjuntos
4. Leyes de idempotencia A Ac= U A A = A 5. Leyes de acotación A U = U A = 6. Leyes de absorción A (A B) = A A (A B) = A 7. Leyes de involución (Ac)c = A
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Propiedades de conjuntos
8. Leyes 0/1 c = U Uc = 9. Leyes de De Morgan (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc
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Ejercicios a). A– (B C) = (A – B) (A – C)
1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B C) = (A – B) (A – C) b). A (B C) = (A B) (A C)
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Producto cruz y conjunto potencia
Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x A y B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto: P(A) = {X | X A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P(A) = {, {a}, {b}, {a,b}}
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Generalización de Conjuntos
Sea M un conjunto de índices cualquiera: , para algún , para algún
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Inducción Matemática Definición
Sea el conjunto C = {x N | P(x)}, si se satisface: PASO BASE: Demostrar que se cumple para 1. es decir, que P(1) es verdadero. PASO DE INDUCCIÓN: Demostrar que P(k) P(k+1) Si se cumplen ambos pasos, entonces podemos afirmar que: C = N es decir, que C es el conjunto de los Naturales.
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Inducción Matemática Ejercicios
Demuestre que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n2: 1+3+5+…+(2n-1) = n2 Demuestre que para todo n que la suma de los primeros enteros positivos elevados al cuadrado es la siguiente: a1+a2+a3+…+an-1+an = Demuestre que la suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado, es las¡ siguiente:
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