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Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez ITESM, Campus Guadalajara

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Presentación del tema: "Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez ITESM, Campus Guadalajara"— Transcripción de la presentación:

1 Teoría de Conjuntos Dr. Rogelio Dávila Pérez ITESM, Campus Guadalajara

2 Teoría de conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Un conjunto se define enumerando a todos sus elementos o indicando las condiciones que deben satisfacer para pertenecer al mismo. Ejemplo: Planetas ={Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} A = { x | x es un múltiplo de 3 y x es menor a 17} Una operación importante es saber si un elemento pertenece o no a un conjunto dado. 9 A -- 9 es un elemento del conjunto A la_luna Planetas -- la_luna no pertenece al conjunto de los Planetas.

3 Teoría de conjuntos Def. Sea A un conjunto cualquiera, designamos | A | a la cardinalidad del conjunto A, y representa al total de elementos dentro del conjunto. Es el conjunto vacío, | |=0.

4 Teoría de conjuntos Algunos conjuntos importantes: { todos aquellos números que no se pueden expresar como la división de dos enteros ej. raiz de 2,, etc} Los números naturales Los números enteros Los números racionales Los números irracionales Los números reales

5 Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B A x B, (x A) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A. B A B A A B

6 Teoría de conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A. B = A B A A B Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotado A c, es el conjunto: A c = {x| x U x A}

7 Teoría de conjuntos Propiedades del complemento: 1. (A c ) c = A 2. A c A = U 3. A A c =

8 Teoría de conjuntos Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x A x B}

9 Diagramas de Venn A – (B U C) B – (A U C) C – (A U B) (A C) – B (B C) – A (A B) – C A B C

10 Propiedades de conjuntos 1. Leyes asociativas a) A (B C) = (A B) C b) A (B C) = (A B) C 2. Leyes conmutativas a) A B = B A b) A B = B A 3. Leyes distributivas a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) 4. Leyes de Identidad: a) A = A b) A U = A

11 Propiedades de conjuntos 4. Leyes de idempotencia a) A A c = U b) A A = A 5. Leyes de acotación a) A U = U b) A = 6. Leyes de absorción a) A (A B) = A b) A (A B) = A 7. Leyes de involución a) (A c ) c = A

12 Propiedades de conjuntos 8. Leyes 0/1 a) c = U b) U c = 9. Leyes de De Morgan a) (A B) c = A c B c b) (A B) c = A c B c

13 Ejercicios 1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B C) = (A – B) (A – C) b). A (B C) = (A B) (A C)

14 Producto cruz y conjunto potencia Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x A y B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2 A o P ( A ), es el conjunto: P ( A ) = {X | X A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P ( A ) = {, {a}, {b}, {a,b}}

15 Generalización de Conjuntos Sea M un conjunto de índices cualquiera:, para algún

16 Inducción Matemática Definición Sea el conjunto C = {x N | P (x)}, si se satisface: PASO BASE: Demostrar que se cumple para 1. es decir, que P (1) es verdadero. PASO DE INDUCCIÓN: Demostrar que P (k) P (k+1) Si se cumplen ambos pasos, entonces podemos afirmar que: C = N es decir, que C es el conjunto de los Naturales.

17 Ejercicios 1. Demuestre que la suma de los n primeros enteros positivos impares es n 2 : …+(2n-1) = n 2 2. Demuestre que para todo n que la suma de los primeros enteros positivos elevados al cuadrado es la siguiente: a 1 +a 2 +a 3 +…+a n-1 +a n = 3 Demuestre que la suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado, es las¡ siguiente: Inducción Matemática


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