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Teoría de Lenguajes Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor - Investigador

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Presentación del tema: "Teoría de Lenguajes Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor - Investigador"— Transcripción de la presentación:

1 Teoría de Lenguajes Dr. Rogelio Dávila Pérez Profesor - Investigador

2 Conjuntos Def. Un conjunto es una colección de elementos sin repeticiones. Ej. A={a,b}, N={1, 2, 3, …} Los elementos pertenecen a conjuntos y un conjunto esta formado por todos sus elementos. Ej. a A -- a pertenece a A a N -- a no pertenece a N

3 Operadores Lógicos ~ Símbolos Lógicos y Significado and or not cond. idéntico x. p(x) – Para todo x, es verdad que p(x) x. p(x) – Existe al menos un x, tal que es verdad que p(x)

4 Identidades Lógicas (a) v (b) Ley de Contraposición: (c) Leyes Distributivas: (i) v ( ) ( v ) ( v ) (ii) ( v ) ( ) v ( ) (e) Leyes de DeMorgan: (i) ( v ) (ii) ( ) v (f)x. (x)x. (x) (g)x. (x)x. (x)

5 Conjuntos Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, denotado como B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A. B A xB, (xA) Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferente de A, B A. B = A B A A B Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A y B A. B A B A & A B

6 Operaciones con Conjuntos Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A B = {x | x A x B} Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A - B = {x | x A x B}

7 Operaciones con Conjuntos Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto: A x B = {(x,y) | x A y B} Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2 A o P ( A ), es el conjunto: P ( A ) = {X | X A} Ejemplos: Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}: A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} P ( A ) = {, {a}, {b}, {a,b}}

8 Inducción Matemática Sea el conjunto C = {x N| P(x)}. Si se satisface: P(1) es verdadero. Si se cumple que para un k arbitrario (k N): De suponer P(k), logramos demostrar P(k+1) Entonces C = N (C es el conjunto de los Naturales) Ejemplo:

9 Relaciones y Funciones Def. Sean A 1, A 2, …, A n una secuencia de conjuntos. Definimos una relación como un subconjunto del producto cartesiano A 1 x A 2 x…x A n. Def. Sean dos conjuntos arbitrarios A y B. Una función f:A B es una relación en AxB, que satisface: Dos parejas distintas no pueden tener el mismo elemento: x,yA, f(x)f(y) x y

10 Relaciones y Funciones Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es inyectiva, si se satisface que: a 1, a 2A, [ a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) ] Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es sobreyectiva o suprayectiva, si se satisface: xB, aA, f(a)= x Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:A B, es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva.

11 Cardinalidad y Conjuntos Infinitos Def. Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva que va de los elementos de A a los elementos de B. Def. Se llama un conjunto contable a aquel conjunto que es finito o que puede ser colocado en relación uno-a-uno con el conjunto de los números naturales N.

12 Ejercicios 1.Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos: a). A– (B C) = (A – B) U (A – C) b). A U (B C) = (A U B) (A U C) 2. Demuestre los siguientes enunciados: a). Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, existen entre ellos al menos dos relaciones posibles (pudiendo ser la misma). b). Sean A = { a, b } y B = { 1, 2 }, entonces, entre A y B existen 16 posibles relaciones.

13 Ejercicios (cont.) 3. Defina una función f: Z Z (Z es el conjunto de los enteros), tal que satisfaga las condiciones que a continuación se muestran: a). f sea inyectiva pero no sobreyectiva. b). f sea sobreyectiva pero no inyectiva. c). f sea biyectiva. 4. Demuestre que la función f: Z Z, definida como f(n) = 2n (nZ), es inyectiva.

14 Ejercicios (cont.) 5. Un conjunto se dice que es contable, si es un conjunto de cardinalidad finita o si su cardinalidad es igual a la de los números naturales N. Demuestre que el conjunto resultado de la unión de dos conjuntos contables, es contable.


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