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FUNCIONES 1ΒΊ BACHILLERATO
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Dominios: y = cos 2 π₯ 2 β2 D = R-{ - 2 , 2 }
y = tag 1 π₯β2 = π ππ 1 π₯β2 πππ 1 π₯β2 D = (R-{2})β©(R-{2}) β {xβπ
/ πππ 1 π₯β2 = 0} = R-{2} β {xβπ
/ 1 π₯β2 = π 2 + kπ} = R-{2, 1 π 2 +ππ +2}
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PROPIEDADES GLOBALES
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3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas:
1- Dominio = π₯βπ
/π(π₯)βπ
} (i.e. valores de x (de izquierda a derecha) que tienen imagen) 2- Imagen o recorrido = {y βπ
/π¦=π(π₯)} (i.e. valores de y (de abajo a arriba) que proceden de alguna x) 3- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Eje x: y = 0 Eje y: x = 0 4- Continuidad: una funciΓ³n es continua si se representa de un solo trazo. En los puntos donde haya que levantar el lΓ‘piz del papel se dice que la funciΓ³n es discontinua. Tipos de discontinuidad en x = x0 βπ« - Evitable: si β f(x0) o lim π₯β π₯ 0 π(π₯)β π( π₯ 0 ) - De salto finito: si lim π₯β π₯ 0+ π(π₯)β lim π₯β π₯ 0β π(π₯) y ambos son nΓΊmeros reales - De salto infinito: si alguno de los lΓmites laterales en x es Β±β
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6- Periodicidad: f(x) es periΓ³dica de periodo T (T positivo) si
5- SimetrΓa: π π₯ ππ π ππΓ©π‘ππππ πππ ππππ‘π ππ πππ ππ πππππππππ , π πππ, π π π βπ₯ =π π₯ π π₯ ππ π ππΓ©π‘ππππ πππ ππππ‘π πππ ππππππ ππ πππππππππππ , π πππππ, π π π βπ₯ =βπ(π₯) βπ₯βπ· (i.e.. f(x) es par si al doblar respecto del eje de ordenadas la grΓ‘fica coincide y es impar si al doblar respecto de ambos ejes la grΓ‘fica coincide 6- Periodicidad: f(x) es periΓ³dica de periodo T (T positivo) si f(x+kT) = f(x) βπ₯βπ·, con kβπ. (i.e.: si la grΓ‘fica se repite en intervalos de longitud T) 7- MonotonΓa: - f(x) es estrictamente creciente en x Ο΅ (a,b) βπ· β β x1 y x2 Ο΅ (a,b) con x1 < x2 β f(x1) < f(x2) - f(x) es estrictamente decreciente en x Ο΅ (a,b) βπ· β β x1 y x2 Ο΅ (a,b) con x1<x2 β f(x1) > f(x2)
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- f(x) tiene un MΓ‘ximo absoluto en x = x0 βπ· si
8- Extremos relativos: - f(x) tiene un MΓ‘ximo relativo en x = x0 βπ· si β un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el mayor valor que alcanza la funciΓ³n. - f(x) tiene un mΓnimo relativo en x = x0 βπ· si β un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x0) sea el menor valor que alcanza la funciΓ³n. 9- Extremos absolutos: - f(x) tiene un MΓ‘ximo absoluto en x = x0 βπ· si f(x0) es el mayor valor que alcanza la funciΓ³n - f(x) tiene un mΓnimo absoluto en x = x0 βπ· si
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10- Concavidad: 11- Puntos de inflexiΓ³n:
- f(x) es cΓ³ncava hacia el eje positivo de las Y en x Ο΅ (a,b) βπ· ππ πππππππ‘π, πΓ³ππππ£π βππππ ππππππ β ππ ππππ‘π π‘ππππππ‘π ππ π₯ π π,π ππ π‘Γ‘ πππ ππππππ ππ ππ ππ’πππΓ³π. - f(x) es cΓ³ncava hacia el eje negativo de las Y en x Ο΅ (a,b)βπ· ππ πππππππ‘π, πΓ³ππππ£π βππππ πππππ β ππ ππππ‘π π‘ππππππ‘π ππ π₯ π π,π ππ π‘Γ‘ πππ ππππππ ππ ππ ππ’πππΓ³π. 11- Puntos de inflexiΓ³n: f(x) tiene un punto de inflexiΓ³n en x = x0 βπ· si existe un intervalo abierto que contenga a x0 donde f(x) tenga un tipo de concavidad a cada lado de x0.
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12- AsΓntotas: - f(x) tiene una asΓntota vertical en x = x0 si al aproximarse x a x0, f(x) se aproxima a Β±β - fx) tiene una asΓntota horizontal en y = y0 si al aproximarse x a +β o -β, f(x) se aproxima a y0 - f(x) tiene una asΓntota oblicua en y = mx + n si al aproximarse x a +β o -β, f(x) se aproxima a la recta oblicua
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D= (-β,1)βͺ 1,β I = R Puntos cortes ejes: (0,0) Continuidad: continua en R-{1}, en x = 1 DSI No simΓ©trica No periΓ³dica MonotonΓa: crece de (-β,1), decrece de (1,3), crece de (3,β) Extremos relativos: m.r (3,6.5) Extremos absolutos: no hay Concavidad: hacia abajo (-β,0), βππππ ππππππ 0,1 , βππππ ππππππ 1,β Puntos de inflexiΓ³n: (0,0) AsΓntotas: - verticales: x = 1 - oblicuas: y = x+2
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D = R I = [0,2] Cortes ejes: (0,1), (1,0) Continua en R No simΓ©trica No periΓ³dica MonotonΓa: crece (ββ,β1), decrece (-1,1), crece (1,β) Extremos relativos: M.r. (-1,2), m.r. (1,0) Extremos absolutos: M.a. (-1,2) , m.a. (1,0) Concavidad: hacia arriba de (-β, β1.5), hacia debajo de (-1.5,0), hacia arriba (0,1.5), hacia abajo (1.5,β) Puntos inflexiΓ³n: x = -1.5, x = 0, x = 1.5 AsΓntotas: horizontal: y = 1
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FUNCIONES ELEMENTALES
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FUNCIONES POLINΓMICAS DE 1ΒΊ GRADO y = mx + n
D = R RepresentaciΓ³n: recta Basta calcular dos puntos para representarla m = pendiente π>0, ππππ‘π ππππππππ‘π π<0, ππππ‘π ππππππππππ‘π π=0, ππππ‘π βππππ§πππ‘ππ n = lugar donde corta al eje Y
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Ejemplos: Tienes ejemplos de rectas en los archivos de geoegebra
Y en la siguiente pΓ‘gina Web
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FUNCIONES POLINΓMICAS DE 2ΒΊ GRADO β CUADRΓTICAS: y = ax2
RepresentaciΓ³n: parΓ‘bola Basta calcular el vΓ©rtice (0,0), el eje de simetrΓa ( x = 0) y un punto para representarla π>0, πΓ³ππππ£π βππππ ππππππ π<0, πΓ³ππππ£π βππππ πππππ cuanto mayor es su valor, mΓ‘s cerrada es la parΓ‘bola
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Ejemplos: Tienes ejemplos de y = ax2 en los archivos de geogebra
Y en la siguiente pΓ‘gina Web
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Traslaciones: y = a(x+π)2 TraslaciΓ³n horizontal
π>0, βππππ ππ ππ§ππ’πππππ π<0, βππππ ππ πππππβπ y = ax2 +π TraslaciΓ³n vertical π>0, βππππ ππππππ π<0, βππππ ππππππ y = a(x +π)2 +π TraslaciΓ³n horizontal y vertical
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Ejemplos: Tienes ejemplos de parΓ‘bolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la pΓ‘gina:
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y = ax2 + bx + c Es una parΓ‘bola elemental trasladada
Para representarla se puede: Poner como: y = a(x +π)2 +π Γ Calcular el vΓ©rtice (-b/2a, f(-b/2a)), y sabiendo que el eje de simetrΓa es x = -b/2a, calcular otro punto de la grΓ‘fica. Si corta a los ejes de coordenadas, tambiΓ©n se pueden calcular estos puntos.
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Ejemplo: representar y = x2 β 4x + 7
Γ³ VΓ©rtice (-b/2a = 2, f(2) = 3), eje de simetrΓa x = 2, imagen de otro punto (3, 4)
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FUNCIΓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = π π
D = R β {0} RepresentaciΓ³n: hipΓ©rbola π>0, 1ΒΊ π¦ 3ΒΊ ππ’ππππππ‘π π<0, 2ΒΊ π¦ 4ΒΊ ππ’ππππππ‘π cuanto mayor es su valor, mΓ‘s cerrada es la hipΓ©rbola. AsΓntota vertical: x = 0 AsΓntota horizontal: y = 0
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Ejemplos: Tienes ejemplos de hipΓ©rbolas en los archivos de geogebra
Y en la pΓ‘gina:
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Traslaciones: D = Rβ {x que anulen al denominador}
y = π π₯+π y = π π₯ +π y = π π₯+π +π Al desplazarse una hipΓ©rbola, cambian sus asΓntotas Desplazamiento vertical: cambio A.H, y = c Desplazamiento horizontal: cambio A.V, x = -b
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Ejemplos: Tienes ejemplos de hipΓ©rbolas desplazadas en los archivos de geogebra Y en la pΓ‘gina:
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y = ππ₯+π ππ₯+π tambiΓ©n es una hipΓ©rbola
Pero, estudiaremos las mΓ‘s simples, que son de la forma y = ππ₯+π π₯+π Ejemplo: y = π₯+2 π₯β3 = π₯β3
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FUNCIΓN RADICAL PAR: y = π
D = R+ RepresentaciΓ³n: Ejemplos: en los archivos de geogebra y en: (solo traslados horizontales o verticales)
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FUNCIΓN EXPONENCIAL: y = ax , a>0, β π
D = R RepresentaciΓ³n: 0<π<1, ππ ππ’πππΓ³π πππππ π>1, ππ ππ’πππΓ³π πππππππ Pasa por el punto (0,1) AsΓntota horizontal : y = 0
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Ejemplos: Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje Y y el cambio de asΓntota cuando ocurra Tienes ejemplos de traslaciones de la funciΓ³n exponencial en los archivos de geogebra
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FUNCIΓN LOGARΓTMICA: y = logax, a>π,β π
D = (0,β) RepresentaciΓ³n: 0<π<1, πππππππ π>1, πππππ Pasa por el punto (1,0) AsΓntota vertical: x = 0
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Ejemplos: Traslaciones: se debe observar el cambio de corte con el eje X y el cambio de asΓntota cuando ocurra - Tienes ejemplos de funciones logarΓtmicas trasladadas en los archivos de geogebra
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FUNCIONES TRIGONOMΓTRICAS
FUNCIΓN SENO: y = sen x Dominio R PeriΓ³dica de perΓodo T = 2π
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FUNCIΓN COSENO: y = cos x
Dominio R PeriΓ³dica de perΓodo T = 2π
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FUNCIΓN TANGENTE: y = tag x
Dominio R β { π 2 +kπ, kβπ
} PeriΓ³dica de perΓodo T = π AsΓntotas verticales: x = π 2 +kπ, kβπ
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Traslaciones: No varΓa el perΓodo.
En la tangente varΓan las asΓntotas verticales - Tienes ejemplos de traslaciones de funciones trigonomΓ©tricas en los archivos de geogebra Y en:
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Deformaciones: En el caso de que y = f(ax) o y = f(x/a), el perΓodo varΓa, quedando dividido o multiplicado por a, respectivamente. En el caso de que y = af(x), no varΓa el perΓodo Tienes ejemplos de funciones trigonomΓ©tricas deformadas en los archivos de geogebra Y en:
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