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Funciones reales de variable real José Manuel Reyes Brito I.E.S. Albert Einstein Sevilla y = f(x) x f(x) x.

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2 Funciones reales de variable real José Manuel Reyes Brito I.E.S. Albert Einstein Sevilla y = f(x) x f(x) x

3 Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

4 DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA D f = {x / f(x) } Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

5 RECORRIDO o IMAGEN R f = {y / y = f(x), x D f} Es el conjunto de valores que puede tomar y,y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

6 GRÁFICA o GRAFO {(x, y) 2 / x D f, y R f} Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

7 Clasificación de las funciones de variable real F. Lineal: y = mx + n F. Cuadrática: y = ax 2 +bx+c Otras funciones polinómicas Enteras o Polinómicas P n (x) Q m (x) Racionales fraccionarias Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz ALGEBRAICAS TRASCENDENTES Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ···

8 Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

9 Todas las funciones polinómicas tienen dominio 3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

10 3ª) y = (1/3)x +1 1ª) y = 2x +1 2ª) y = 5x +1 D f = A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

11 1ª) y = -3x + 1 2ª) y = -3x + 5 3ª) y = -3x + 2 Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

12 RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n D f = Gráfica: RECTA R f = D f = R f = ¡Ojo! Si m=0, R f = {n} R f = {-2}

13 Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e 0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L 0 (1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = IR F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

14 Funciones cuadráticas y = ax 2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

15 Como todas las funciones polinómicas D f = Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Ahora observamos la gráfica con toda su significación Las claves están en los siguientes elementos: Cortes con el eje OX Vértice

16 Funciones cuadráticas D f = y = ax 2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax 2 + bx + c = 0 x 1 y x 2 (x 1, 0) y (x 2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(x v, yv)yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

17 Ejemplos de funciones cuadráticas D f = 1) y = x 2 -8x - 9 Vértice (4, -25) R f = [-25, + )

18 Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x 2 V(2, -9) R f = [-9, + ) V(2, -5) R f = [-5, + ) V(2, -20) R f = [-20, + )

19 Ejemplos de funciones cuadráticas D f = y = x 2 - 3x + 2 y = 3x 2 + 2x +1 y = 20x x + 5

20 Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3x 2 + x - 2 y = - 3x 2 – x + 2 y = - x 2 + 7x - 10 ¡Ojo! En este caso: R f = (-, y v ]

21 Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s 0 + v 0 t + ½·at 2 B) Teorema de Torricelli v 2 = 2gh

22 Funciones polinómicas Grado >2 D f =

23 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = x 3 y = 2x 3 y = 5x 3 Obsérvese el efecto y = c·f(x) D f = R f =

24 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = x 3 + 1y = x 3 y = x y = x D f = R f = Obsérvese el efecto y = f(x) + c

25 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x 3 - 4x 2 + x +6 D f = R f =

26 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x + 1) 2 (x - 2) = x 3 - 3x - 2 D f = R f = Solución doble

27 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x 2 + 1)(x - 2) = x 3 - 2x 2 + x - 2 Raíces complejas D f = R f =

28 Funciones cúbicas: y = ax 3 + bx 2 + cx + d y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x 3 + 6x 2 -11x + 6 D f = R f = Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo

29 Funciones cuárticas: y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x 4 - 2x 3 - x 2 + 2x D f =

30 Funciones fraccionarias y = P n (x) Q m (x) D f = - {x/ Q m (x) = 0}

31 Funciones fraccionarias Asíntotas verticales Asíntota horizontal y = 0 x = 3 x = 0 x = -3/4 R f = - {0} Gráfica: HIPÉRBOLA

32 Funciones fraccionarias Gráfica: HIPÉRBOLA 5x + 10 = 0 x = -2 Asíntota vertical Asíntota horizontal D f = - {-2} R f = - {3/5}

33 Funciones fraccionarias Asíntota horizontal y = 1 Asíntotas verticales x = -1 x = 4 D f = - {-1, 4}

34 Ejemplos de aplicaciones de funciones fraccionarias: A. Principio de continuidad hidrodinámica S 1 V 1 = S 2 V 2 = G (Gasto) S = G/V B. Ley de Boyle: PV = k V = k/P C. Ley de Gravitación Universal: D. Ley de Coulomb:

35 Funciones trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ···

36 Función exponencial y = a x a>0

37 Función exponencial y = 2 x y = e x y = 10 x D f = R f = (0, + ) Asíntota horizontal y = 0 e Función monótona creciente

38 Función exponencial y = 05 x y = 01 x y = (1/e) x D f = R f = (0, + ) Asíntota horizontal y = 0 Función monótona decreciente

39 D f = R f = (0, + ) f(0) = 1 Monótona creciente si a> 1 Monótona decreciente si 0 < a < 1 Función exponencial y = a x a>0 RESUMEN

40 Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P 0 ·a kt B. Crecimiento logístico: C. Presión atmosférica: a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km

41 Función logarítmica y = log a (x) a > 0

42 Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y = axax Bisectriz y = x Función logarítmica y = log a (x) D f = R f = (0, + ) R f = D f = (0, + ) a 0 = 1 Log a (1) = 0

43 Función logarítmica y = log 2 (x) y = ln(x) y = log(x)

44 Función logarítmica y = log 01 (x) y = log 1/e (x) y = log 05 (x)

45 Ejemplos de aplicación de la función logarítmica A. Ley de Fechner: logI 2 - logI 1 = 2(logP 2 - logP 1 ) Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL) P i = Potencia sonora; I i = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON) B. Escala de Richter: M = LogA + C A = Amplitud de las ondas superficiales C = ·LogD - LogT T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro

46 Funciones trigonométricas

47 D f =R f = [-1, 1] D f = R f = [-1, 1] y = sen(x) y = cos(x)

48 La función y = sen(x) es periódica: Período = 2 sen(x + 2 ) = sen(x)

49 La función y = cos(x) es periódica: Período = 2 cos(x + 2 ) = cos(x)

50 y = tg(x) : función periódica Período = tg(x + ) = tg(x) D f = - {(2k+1) /2; k Z } Asíntotas verticales R f =

51 Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas RAMA PRINCIPAL y = arc sen(x) RAMA PRINCIPAL y = arc cos(x) RAMA PRINCIPAL y = arc tg (x)

52 Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas A. Intensidad de corriente alterna: i = i m· sen(ωt + φ) B. Movimiento vibratorio armónico simple: x = a·sen(ωt + φ) C. Desarrollos de Fourier

53 FIN DEL ESTUDIO GENERAL SOBRE FUNCIONES REALES


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