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Funciones ¿Qué es una función? Formas de representación Propiedades Clasificación Tipos Generalidades.

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Presentación del tema: "Funciones ¿Qué es una función? Formas de representación Propiedades Clasificación Tipos Generalidades."— Transcripción de la presentación:

1 Funciones ¿Qué es una función? Formas de representación Propiedades Clasificación Tipos Generalidades

2 Una función es una regla de asociación que relaciona el conjunto de llegada y el conjunto de salida. Esta regla no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del rango. No estamos en presencia de una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. ¿Qué es una función? abcdeabcde XY

3 Formas de representar una función VerbalAlgebraicaVisualNumérica por medio de palabrasfórmulasdiagramas y graficastablas x … y … abcdeabcde XY Y=2x+4 E(t) son los estudiantes del colegio en el instante t.

4 Variable dependiente - Variable independiente Intercepto en el eje X - Intercepto en el eje Y Conjunto de llegada - Conjunto de salida GENERALIDADES Dominio - Rango

5 El DOMINIO es el conjunto de elementos formado por las pre imágenes, generalmente cuando se habla del plano cartesiano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje x, y que nos generan una asociación en el eje y. El otro conjunto llamado RANGO, es la gama de valores que toma la función; en el caso del plano cartesiano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y.

6 La VARIABLE INDEPENDIENTE no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x. Las VARIABLES DEPENDIENTES como su nombre lo indica, dependen del valor que toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.

7 El INTERCEPTO EN EL EJE Y se halla reemplazando a x por 0, y el INTERCEPTO EN EL EJE X se halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante.

8 El CONJUNTO DE LLEGADA contiene los elementos que son la imagen de los valores del conjunto de salida. El CONJUNTO DE SALIDA se llama al conjunto que contiene los elementos del dominio de una función.

9 PROPIEDADES Función Par Función Impar Función Creciente Función Decreciente

10 FUNCIÓN PAR Simétricas con respecto al eje Y.

11 FUNCIÓN IMPAR Si f(x) = -f (-x). Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x). Simétricas con respecto al eje de las coordenadas.

12 FUNCIÓN CRECIENTE La función es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.

13 FUNCIÓN DECRECIENTE La función es decreciente cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.

14 Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva CLASIFICACIÓN

15 FUNCIÓN INYECTIVA Una función es INYECTIVA, si en el conjunto A no hay dos o más elementos que tengan la misma imagen. abcdeabcde XY

16 FUNCIÓN INYECTIVA Una función es SOBREYECTIVA, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. abcdeabcde XY

17 FUNCIÓN BIYECTIVA Una función es BIYECTIVA, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez. abcdeabcde XY

18 TIPOS DE FUNCIONES Polinómica Racional Logarítmica Exponencial Valor absoluto TrigonométricaPor partes Grado impar Grado par Grado cero LinealCúbica Cuadrática Constante Afín Lineal Idéntica

19 Se llama FUNCIÓN POLINÓMICA a toda aquella que está definida por medio de polinomios. Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax 2 + bx + c 3 Cúbica y= ax 3 + bx 2 + cx + d Dominio= Conjunto de Salida= Reales Conjunto de llegada=Reales

20 Son funciones en las que el máximo grado de un término de la ecuación es un número par. FUNCIONES DE GRADO PAR y= ax (2n) + bx (2n)-1 + cx (2n)-2 + … + dx + e

21 Son funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. FUNCIONES DE GRADO IMPAR y= ax (2n-1) + bx (2n-1)-1 + cx (2n-1)-2 + … + dx + e

22 En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el desplazamiento vertical de la función. Dominio= Conjunto de Salida= Reales Rango= Reales (con excepción a la función constante). Conjunto de llegada = Reales. y - x son dos variables m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación: Si m > o: la función es creciente Si m < 0: la función es decreciente Si m = 0: la función es constante LINEAL

23 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx Ejemplo: y = 2x Elementos Punto de corte con x: 0 Punto de corte con y: 0 Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Dominio= Reales Rango= Reales Pendiente = 2 LINEAL

24 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical. AFIN

25 Cuando m>0, n>0 la gráfica esCuando m 0 la gráfica es Cuando m<0, n<0 la gráfica esCuando m>0, n<0 la gráfica es AFINAFIN

26 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = x La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas. IDÉNTICA Ejemplo: y = x Elementos Punto de corte con x = 0 Punto de corte con y = 0 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango =Reales

27 Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2 Elementos Punto de corte con x = -1.5 Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = Reales F(x) > 0 en x (-1.5, infinito) F(x) < 0 en x (-1.5, -infinito) CÚBICA

28 Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y= ax 2 +bx+c Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0. La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría, se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado. Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo. Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación: En la función cuadrática c indica el punto de corte con y. Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación: X= El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito. CUADRÁTICA

29 Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la ecuación: y = a, donde a pertenece a los números reales. No depende de ninguna variable Ejemplo: y = 2 Elementos Punto de corte con y = 2 Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = {a} CONSTANTE

30 El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta si su signo es positivo o negativo, ya que nunca será negativo. La función de valor absoluto se define por la ecuación: PROPIEDADES 1. No negatividad 2.Definición positiva 3. Propiedad multiplicativa: |ab| = |a||b| 4. Propiedad aditiva: |a + b| |a|+|b| 5. Simetría: |-a| = |a| 6. Identidad de indiscernibles : |a-b|= 0 a=b 7. Desigualdad triangular: |a-b| |a-c|+ |c-b| Rango= (mínimo, ) o ( -, máximo) Ejemplo: y= IxI Elementos Punto de corte con y = no hay Punto de corte con x= no existe Conjunto de salida = Reales Conjunto de llegada = Reales Dominio = Reales Rango = (0, ) VALOR ABSOLUTO

31 VALOR ABSOLUTO Para un desplazamiento horizontal: Ejemplo: y= Ix + 5I Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (0, ) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 5 Desplazamiento horizontal= 5 Para un desplazamiento vertical: Ejemplo: y= IxI + 2 Dominio= Reales Conjunto de salida= Reales Rango= (2, ) Conjunto de llegada= Reales Punto de corte con x= No existe Punto de corte con y= 2 Desplazamiento vertical = 2

32 La función racional está definida por una expresión algebraica que es el cociente de dos polinomios: RACIONAL Las asíntotas de una función, son líneas a la que la grafica de la función se aproxima cada vez mas cuando se va a lo largo de esta línea, más nunca la toca.. La variable X no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de Y es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros de Q. 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = a m /b n, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula. Se hallan igualando el denominador a 0. VERTICALESHORIZONTALES Se hallan por medio de la ecuación:

33 PASOS PARA SOLUCIONAR UNA FUNCIÓN RACIONAL 1.Se factoriza el numerador y el denominador. 2.Se hallan los puntos de corte con x: las raíces del numerador. 3.Se halla el punto de corte con y: sustituyendo a x por 0. 4.Se hallan las asíntotas verticales: las raíces del denominador. 5.Se hallan las asíntotas horizontales: (cementerio) Para saber si es – o +, y luego se halla.

34 Donde a 0 y a1 La función exponencial se define por la ecuación: y= a x a y x son números reales Cuando a<1, la función es decreciente. Cuando a>1, la función es creciente. EXPONENCIALES Ejemplo: y= 2 X Dominio= Reales Rango= (, 0) Conjunto de salida= Reales Conjunto de llegada= Reales Asíntota en y=0 Punto de corte con y= 1 Función creciente desplazamiento verticaldesplazamiento horizontal e=2.2 Exponencial natural

35 y= a x Para a>1 y= - a x Para a>1 y= a x Para 0

36 La función logarítmica se define por la ecuación: y= log a x Solo esta definida en los números positivos. cambio de los logaritmos de una base a logaritmos de otra base por medio de la ecuacion: PROPIEDADES Desplazamiento horizontal Desplazamiento vertical LOGARÍTMICA

37 Conjunto de salida=Dominio=IR+ Conjunto de llegada=IR= Rango Asíntota en x=0 Función creciente LOGARÍTMICA

38 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (periódicas)

39 FUNCION SENO

40 FUNCION COSENO

41 FUNCION TANGENTE

42 FUNCION COTANGENTE

43 FUNCION SECANTE

44 FUNCION COSECANTE

45 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS


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