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Funciones Continuidad de una función Continuidad de una función Tipos de discontinuidad Tipos de discontinuidad Funciones definidas a trozos Funciones.

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Presentación del tema: "Funciones Continuidad de una función Continuidad de una función Tipos de discontinuidad Tipos de discontinuidad Funciones definidas a trozos Funciones."— Transcripción de la presentación:

1 Funciones Continuidad de una función Continuidad de una función Tipos de discontinuidad Tipos de discontinuidad Funciones definidas a trozos Funciones definidas a trozos Continuidad de Funciones1

2 Una función f(x) es continua en un punto x = a si cumple: Continuidad de Funciones 1.Existe f(a) Si una función no cumple alguna de estas condiciones, decimos que la función es discontinua en x = a 2. Existe 3. Se cumple que f(a) =

3 Ejemplo: Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función 3Continuidad de Funciones Tenemos que el dominio de la función es R-{2}, por lo tanto x = 2 será una punto de discontinuidad. Estudiemos como no se cumple la definición de continuidad y que tipo de discontinuidad tenemos. Evidentemente no existe f(2) No se puede dividir por 0 Calculamos los limites a la izquierda y derecha de x=2 Números muy pequeños pero negativos: 1,90 – 2 = - 0,1 1,99 – 2 = - 0,01 Números muy pequeños pero positivos: 1,90 - 2 = 0,1 1,99 - 2 = 0,01 Como los límites izquierda y derecha son distintos tenemos una función discontinua en x = 2 de 1ª especie con salto infinito (diferencia entre los límites laterales)

4 4Continuidad de Funciones Veamos la gráfica de la función: Cuando me acerco a 2 - la función va hacia -∞ Cuando me acerco a 2 + la función va hacia +∞ Aquí tendremos Una Asíntota vertical De ecuación x=2

5 5Continuidad de Funciones Veamos el siguiente ejemplo con una función definida a trozos: Aquí tenemos una recta horizontal, paralela al eje de abcisas X. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una parábola. Siempre es continua en su intervalo de definición. Aquí tenemos una recta. Siempre es continua en su intervalo de definición. Así que solo procederemos a estudiar la continuidad en los casos x = 2 y x = 5. Que son los puntos donde puede ocurrir algún cambio respecto a la continuidad

6 6Continuidad de Funciones Si nos fijamos en la gráfica de esta función veremos que: Discontinua de 1ª especie en x = 2 con salto de 3 u. Continua en x = 5

7 7Continuidad de Funciones Estudiamos analíticamente el caso de x = 2 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=2 son distintos tenemos que f(x) es discontinua de 1ª especie en x =2, donde se produce un salto de 3 unidades.

8 8Continuidad de Funciones Estudiamos analíticamente el caso de x = 5 Como tenemos que el limite por la izquierda y el limite por la derecha en x=5 son iguales tenemos que f(x) continua de en x = 5

9 9Continuidad de Funciones Veamos algún caso con una discontinuidad del tipo “Evitable” Tenemos que Dominio de f = R - { 1 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 1 1. f(1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio

10 10Continuidad de Funciones Veamos ahora la gráfica de la función Tenemos un agujero para x = 1

11 11Continuidad de Funciones Otro ejemplo de una función con discontinuidad “de 1ª Especie con salto ∞” Tenemos que Dominio de f = R - { 3 } Solo tendríamos que estudiar el caso x = 3 1. f (3) no existe ya que x = 3 no está en el dominio f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de

12 12Continuidad de Funciones Veamos ahora la gráfica de la función

13 13Continuidad de Funciones Otro ejemplo de una función con discontinuidades Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 } Si estudiamos caso x = -1 1. f (-1) no existe ya que x = -1 no está en el dominio f(x) es discontinua evitable en el infinitode 1ª especie en el infinito Pero el limite no es igual que la imagen en x= -1 ya que no existe f(-1)

14 14Continuidad de Funciones Otro ejemplo de una función con discontinuidades Tenemos que Dominio de f = R - { -1, 1 } Si estudiamos caso x = 1 1. f (-1) no existe ya que x = 1 no está en el dominio f(x) es discontinua de 1ª especie con salto de

15 15Continuidad de Funciones A.H. y= -1 A.V. x= 1 A.V. x= -1 Veamos la gráfica de esta función:

16 16Continuidad de Funciones Fin del ejercicio


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