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Números enteros 05.07.14 1 JUGANDO CON LOS NÚMEROS ENTEROS –Prof. Ricci Valdivia.

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2 Números enteros 05.07.14 1 JUGANDO CON LOS NÚMEROS ENTEROS –Prof. Ricci Valdivia

3 Números enteros 05.07.14 2 Buena temperatura: + 20 ºC +20 +5000 +7 – 7 – 5000 – 20 0 Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–) De los números naturales a los enteros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 776 – 250 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar

4 Números enteros 05.07.14 3 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos. 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos. Positivos Negativos Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5+6–1 0–2–3 –4–5 Representación de los números enteros

5 Números enteros 05.07.14 4 Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: +1 +2 +3 +4 +5+6–1 0–2–3 –4–5 –2+2 El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Otro ejemplo: Valor absoluto de un número entero

6 Números enteros 05.07.14 5 Ordenación: Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. 0+1+3+2+4+6–5+5–4–3–2–1 Más grandes Más pequeños Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo. El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo. Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Valor absoluto y ordenación de los números enteros

7 Números enteros 05.07.14 6 0+1+3+2+4+6+5–2–1 (+2) + (+3) = +5 Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) = –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 –4–3–1–20+2+1–6–5 –2 –3 (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 Suma de enteros del mismo signo

8 Números enteros 05.07.14 7 (+12) + (–9) = +3 Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas... Nos han dado 12 soles Y hemos gastado 9 soles Les quedan 3 soles Carola y Pablo también hacen sus cuentas... Nos han dado 18 soles Y hemos gastado 19 soles Deben 1 sol ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Suma de números enteros de distinto signo

9 Números enteros 05.07.14 8 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos. (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = = (+150) + (–110) = +40 Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = Suma de varios números enteros

10 Números enteros 05.07.14 9 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 86–2–8–6 –7–12712 +1+2+3+4+5+6–10–2–3–4–5–6 Se llaman opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 –5512 a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b) Opuesto de un número entero

11 Números enteros 05.07.14 10 Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 2º. Como indicador de número negativo: –3 (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14(–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 Algunos ejemplos: –7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 El signo – tiene dos significados: Resta de números enteros

12 Números enteros 05.07.14 11 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 2º. También se puede hacer así: Son iguales El uso del paréntesis

13 Números enteros 05.07.14 12 ( a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). Otros ejemplos: Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 (c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis). 8 + (4 – 14) La expresión:se puede calcular de dos maneras: 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 15 – (12 – 2) Análogamente:se puede calcular de dos maneras: 1º. Operando antes el paréntesis: 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. Operar con paréntesis

14 Números enteros 05.07.14 13 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: 1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO SE SUMAN y el resultado queda con el MISMO SIGNO que tienen los números que sumé. EJEMPLO: 1 + 3 + 5 + 8 = 17 POSITIVOS POSITIVO -1 - 3 - 5 - 8 = - 17 NEGATIVOS NEGATIVO 2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto). 5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO 5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO

15 Números enteros 05.07.14 14 OPERACIONES CON PARÉNTESIS 3)Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe. EJEMPLO: HAY UN SIGNO POSITIVO 4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : a)un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro. EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS b)un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro. EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS


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