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11.- Hallar los elementos invertibles de Z 6, Z 7 y Z 8. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} En Z 6 un elemento es invertible si es coprimo con 6, es decir, si no.

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Presentación del tema: "11.- Hallar los elementos invertibles de Z 6, Z 7 y Z 8. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} En Z 6 un elemento es invertible si es coprimo con 6, es decir, si no."— Transcripción de la presentación:

1 11.- Hallar los elementos invertibles de Z 6, Z 7 y Z 8. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} En Z 6 un elemento es invertible si es coprimo con 6, es decir, si no es divisible ni por 2 ni por 3 Vamos a marcar los divisibles por 2 Ahora marcamos los divisibles por 3 Los que quedan son los invertibles. Los elementos invertibles de Z 6 son 1 y 5

2 Z 7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Como 7 primo, todos los elementos no nulos en Z 7 son invertibles Hallar los elementos invertibles de Z 6, Z 7 y Z 8.

3 Los que quedan son los invertibles. Los elementos invertibles de Z 8 son 1, 3, 5 y 7 Z 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} En Z 8 un elemento es invertible si es coprimo con 8, es decir, si no es divisible por 2. Veamos los divisibles por Hallar los elementos invertibles de Z 6, Z 7 y Z 8.

4 12.- Hallar los inversos de Z 6, Z 7 y Z 8. 6 en Z 11 : Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido: 11=6·1+5 6 = 5·1 +1 yendo al revés 1 = 6 - 5·1 = 6 - (11-6·1) = 6· = 6·2 mod 11 (6) -1 = 2 en Z 11

5 6 en Z 17 : Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido: 17 = 6·2+5 6 = 5·1 +1 yendo al revés 1 = 6 - 5·1 = 6 - (17 - 6·2) = 6· = 6·3 mod 17 (6) -1 = 3 en Z Hallar los inversos de Z 6, Z 7 y Z 8.

6 3 en Z 10 : Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido: 10=3·3+1 entonces 1 = ·3 1 = -3·3 mod 10 (3) -1 = -3 = 7 en Z Hallar los inversos de Z 6, Z 7 y Z 8.

7 5 en Z 12 : Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido: 12 = 5 ·2+2 5 = 2 ·2 +1 yendo al revés 1 = 5 - 2·2 = 5 - (12 - 5·2)2 = ·2 1 = 5·5 mod 12 (5) -1 = 5 en Z Hallar los inversos de Z 6, Z 7 y Z 8.

8 7 en Z 16 : Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido: 16 = 7·2+2 7 = 2·3 +1 yendo al revés 1 = 7 - 2·3 = 7 - (16 - 7·2) ·3 = 7·7 - 16·3 1 = 7·7 mod 16 (7) -1 = 7 en Z Hallar los inversos de Z 6, Z 7 y Z 8.

9 13.- Probar que 3 | (n 3 - n) para todo n. Si n es múltiplo de 3 3| n 2 3| n 2 (n-1) Si n no es múltiplo de 3 (3) = 2 n 2 =1 mod 3n 3 =n mod 3

10 14.- Demostrar que el cuadrado de todo número entero es de la forma 4k o 4k + 1. Tenemos dos opciones: n = 2m n 2 = 4m 2 =4k con k=m 2 n es impar: n = 2m +1 n 2 = 4m m = 4(m 2 +m)+1 = 4k+1, con k= (m 2 +m) n es par:

11 15.- Si a no es múltiplo de 2 ni de 3, entonces 24 divide a a Como 24=8·3, veamos primero que 3 | a 2 -1 y después que 8 | a 2 -1 (3) = 2 y mcd(a,3) =1 a 2 = 1 mod 3 3 | a 2 -1 a = 2k-1 a-1=2k, a+1 = 2(k+1) a 2 -1 = (a+1)(a-1) = 4k(k+1) Y como 2| k(k+1), entonces 8 | a 2 -1

12 16.- Si 5 no divide a n, entonces 5 divide a n 8 -1 (5) = 4 y n invertible en Z 5, entonces n 8 = n 4.2 = 1 2 = 1 mod 5 n 8 -1=0 mod 5 5 divide a n 8 -1

13 17.- Demostrar que todo número primo p mayor que 3 se puede escribir en la forma 6n + 1 ó 6n + 5. Como p no es ni 2 ni 3, p es coprimo con 3·2 = 6 p es invertible en Z 6 Los únicos invertibles en Z 6 son 1 y 5 p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6 Hay que demostrar que p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6

14 18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p 2 -1 o p 2 +1 ha de ser divisible por 10. p es primo, p2, p impar p es par y p 2 -1 es par Falta ver que 5 divide a p ó p (5) = 4, p5 p 4 -1 = 0 mod 5 5| (p 2 -1)(p 2 +1) 5| (p 2 -1) ó 5 | (p 2 +1)

15 18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p 2 -1 o p 2 +1 ha de ser divisible por 10. Otra manera de hacer el ejercicio: Como p2 y p5, tenemos que mcd(p,10)=1. Así, p es invertible en Z 10. Invertibles en Z 10 = {1,3,7,9} p=1 o p=3 o p=7 o p=9 (mod 10) p 2 =1 o p 2 =9=-1 o p 2 =49=-1 o p 2 =81=1 (mod 10)

16 19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16 ? Hay que buscar a, b tal que: 28a = b, a,b 0, Por el algoritmo de Euclides Extendido, obtenemos: mcd(100,28) = 4, Solución general : b = -8+7k; a = k, k en Z, tal que -100 (-8+7k) + 28 (-28+25k) =16 28a - 100b = 167a - 25b = 4 7(-7) - 25(-2)=17(-28) - 25(-8)=4

17 19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16 ? Entonces, Buscamos que -8+7k sea mayor o igual que k 0 k 2 Así, por ejemplo, si k=2, 28 (-28+25·2 ) = 28·22 = 616

18 20.- Calcular el resto de la división de 2 4k entre 5, k >0. (5) = 4 y mcd (2,5)=1 2 4 =1 mod 5 2 4k = 1 k = 1 mod 5 Con lo cual, el resto será 1.


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