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2. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD PROBABILIDAD FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO Consideremos un fenómeno o experimento dado, y sea S el conjunto.

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1 2. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD PROBABILIDAD FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO Consideremos un fenómeno o experimento dado, y sea S el conjunto no vacío de posibles resultados de dicho fenómeno o experimento. TIPOS DE EXPERIMENTOS: ALEATORIO ALEATORIO DETERMINISTICO DETERMINISTICO

2 EJEMPLOS: EJEMPLOS: Consideremos el rendimiento académico de un estudiante desde el punto de, vista del resultado, constituye un fenómeno o experimento aleatorio, así los posibles resultados serán: Consideremos el rendimiento académico de un estudiante desde el punto de, vista del resultado, constituye un fenómeno o experimento aleatorio, así los posibles resultados serán: Buen B,Regular R,Malo M Buen B,Regular R,Malo M Se lanzan simultáneamente 2 monedas al aire y se observa los resultados, el conjunto de resultados será: Se lanzan simultáneamente 2 monedas al aire y se observa los resultados, el conjunto de resultados será: (sale: 0 cara; sale 1 cara, sale 2 caras). (sale: 0 cara; sale 1 cara, sale 2 caras). Se examina la vida útil de un foco de luz. Se examina la vida útil de un foco de luz. El foco dura 30 horas El foco dura 30 horas El foco dura horas El foco dura horas El foco dura 1000 horas El foco dura 1000 horas El conjunto de resultados es infinito no numerable El conjunto de resultados es infinito no numerable

3 ESPACIO MUESTRAL: Sea E un experimento aleatorio, y sea S el conjunto de resultados de dicho experimento, entonces S es el espacio muestral Sea E un experimento aleatorio, y sea S el conjunto de resultados de dicho experimento, entonces S es el espacio muestral Ejemplo: Ejemplo: Sea el ejemplo 1). Entonces: Sea el ejemplo 1). Entonces: S= es un espacio muestral S= es un espacio muestral Bueno B Bueno B Regular NB Regular NB MaloNB MaloNB

4 S 2 = es un espacio muestral S 2 = es un espacio muestral BuenoB BuenoB RegularR RegularR Malo M Malo M Como puede verse, existen diferentes espacios muestrales asociados a un mismo experimento aleatorio E, por lo tanto, en la elección de un espacio muestal se debe tener en cuenta que característica del fenómeno que se desea estudiar. Como puede verse, existen diferentes espacios muestrales asociados a un mismo experimento aleatorio E, por lo tanto, en la elección de un espacio muestal se debe tener en cuenta que característica del fenómeno que se desea estudiar. Así por ejemplo, sí se desea saber si rendimiento académico es bueno o no, el espacio S 1, es el adecuado. Así por ejemplo, sí se desea saber si rendimiento académico es bueno o no, el espacio S 1, es el adecuado. Sí se desea estudiar la posibilidad de que el el rendimiento académico es Bueno, Regular o Malo el espacio muestral adecuado será S 2. Sí se desea estudiar la posibilidad de que el el rendimiento académico es Bueno, Regular o Malo el espacio muestral adecuado será S 2.

5 NUMERO DE ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL NUMERO DE ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL Esta dado por la siguiente fórmula S # = k n Esta dado por la siguiente fórmula S # = k n Donde: Donde: K : número de posibilidades K : número de posibilidades n : número de veces que se repite el experimento n : número de veces que se repite el experimento Ejemplo. Ejemplo. se lanza una moneda 3 veces, hallar el número de se lanza una moneda 3 veces, hallar el número de elementos o resultado del espacio muestral. elementos o resultado del espacio muestral. Solución Solución S #. = k n ; S #. = k n ; k = 2 cada moneda tiene dos posibilidades, cara o k = 2 cada moneda tiene dos posibilidades, cara o sello sello n = 3 porque son tres monedas n = 3 porque son tres monedas S # = 2 3 = 8 elementos del espacio muestral S # = 2 3 = 8 elementos del espacio muestral

6 2.1. SUCESOS Y OPERACIONES 2.1. SUCESOS Y OPERACIONES DEFINICION DEFINICION Es todo subconjunto de S en particular, ø y S son sucesos, además ø se llama suceso imposible y S se llama suceso seguro. Es todo subconjunto de S en particular, ø y S son sucesos, además ø se llama suceso imposible y S se llama suceso seguro. Si w S, ´{ w} es un suceso, y a veces se llama suceso elemental. Si w S, ´{ w} es un suceso, y a veces se llama suceso elemental. Por consiguiente con los sucesos o eventos se pueden realizar las mismas operaciones que con conjuntos. Por consiguiente con los sucesos o eventos se pueden realizar las mismas operaciones que con conjuntos.

7 2.2 DEFINICIÓN 2.2 DEFINICIÓN Sea un espacio de probabilidad Sea un espacio de probabilidad sea: P R Talque: sea: P R Talque: 1). P(A) > 0 1). P(A) > 0 2). disjunta talque An 2). disjunta talque An entonces: entonces: P 3).P ( s ) = 1 3).P ( s ) = 1 Entonces se dice que P es una función de probabilidad o bien medida de probabilidad Entonces se dice que P es una función de probabilidad o bien medida de probabilidad

8 2.3 TEOREMAS 2.3 TEOREMAS A). P A). P B). Sean A y A mutuamente excluyentes. = C). Sean A 1 y A 2 que pertenecen talque A 1 < A 2 entonces P( A 1 ) < P( A 2 )

9 D) Si A y B son sucesos complementarios entonces: P ( A` ) = 1 – P(A) P ( A` ) = 1 – P(A) E) P (S) = 1 F) Sea A y A Entonces P= P= si y solo si A 1 y A2 son complementarios / 0 si y solo si A 1 y A2 son complementarios / 0

10 2.5 DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD 2.5 DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD Según Laplace, la probabilidad de un evento A esta dado por: Según Laplace, la probabilidad de un evento A esta dado por: P(A) = P(A) = Ejemplo: Ejemplo: En un Colegio Estatal el 30% de los profesores son de Tacna, el 10% son egresadas de la Universidad Nacional de San Marcos, el 1% son de Tacna y egresadas de San Marcos. Si se selecciona a lazar un profesor del Colegio Estatal En un Colegio Estatal el 30% de los profesores son de Tacna, el 10% son egresadas de la Universidad Nacional de San Marcos, el 1% son de Tacna y egresadas de San Marcos. Si se selecciona a lazar un profesor del Colegio Estatal ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea de Tacna?. ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea de Tacna?. ¿ Cuál es la probabilidad que sea de Tacna o sea egresada de San Marcos ¿ ¿ Cuál es la probabilidad que sea de Tacna o sea egresada de San Marcos ¿ ¿ Cuál es la probabilidad que no sea de Tacna ni egresada de San Marcos? ¿ Cuál es la probabilidad que no sea de Tacna ni egresada de San Marcos?

11 Solución Solución P (T) = 0.30 P (T) = 0.30 P ( E SM) = 0.10 P ( E SM) = 0.10 P (T ESM) = 0.01 P (T ESM) = 0.01 P (T´) = 1- P (T) = 1 – 0.30 = 0.70 P (T´) = 1- P (T) = 1 – 0.30 = 0.70 P ( T ESM) = P (T) +P (ESM) – P ( T ESM) P ( T ESM) = P (T) +P (ESM) – P ( T ESM) = = 0.39 = = 0.39 P( T´ ESM´) = 1 - P(TESM) = = 0.61 P( T´ ESM´) = 1 - P(TESM) = = 0.61

12 PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea A, un evento cualesquiera, talque la P(B)> 0 entonces Sea A, un evento cualesquiera, talque la P(B)> 0 entonces La probabilidad condicional de A dado B, denotado P se define: La probabilidad condicional de A dado B, denotado P se define: Donde P es la probabilidad de ocurrencia de A dado que ha ocurrido B. Donde P es la probabilidad de ocurrencia de A dado que ha ocurrido B. P también se puede interpretar como la probabilidad de ocurrencia del evento A en el espacio muestral restringido a B. P también se puede interpretar como la probabilidad de ocurrencia del evento A en el espacio muestral restringido a B. Análogamente P Análogamente P

13 Ejemplo: Ejemplo: Un experimento consiste en extraer aleatoriamente 2 computadoras uno a uno sin reposición de un embarque que contiene 500 computadoras. Si se sabe que el 5% de estas computadoras son defectuosos ¿ Cuál es la probabilidad de extraer 2 computadoras defectuosas? Un experimento consiste en extraer aleatoriamente 2 computadoras uno a uno sin reposición de un embarque que contiene 500 computadoras. Si se sabe que el 5% de estas computadoras son defectuosos ¿ Cuál es la probabilidad de extraer 2 computadoras defectuosas? Sea A = (Extraer dos computadoras defectuosas) Sea A = (Extraer dos computadoras defectuosas) = (Extraer una computadora defectuosa en la primera sacada y extraer otra computadora defectuosa en la segunda sacada) = (Extraer una computadora defectuosa en la primera sacada y extraer otra computadora defectuosa en la segunda sacada) Sea A 1 (Extraer una computadora defectuosa en la 1ra. sacada) Sea A 1 (Extraer una computadora defectuosa en la 1ra. sacada) A 2 (Extraer una computadora defectuosa en la segúnda. sacada). A 2 (Extraer una computadora defectuosa en la segúnda. sacada). P(A) = P P(A) = P Computadoras defectuosas: 5% de 500 = 0.05x 500 = 25 Computadoras defectuosas: 5% de 500 = 0.05x 500 = 25 P

14 P= ( Extraer una computadora defectuosa en la segunda sacada dado que se extrajo una computadora defectuosa en la primera sacada). P= ( Extraer una computadora defectuosa en la segunda sacada dado que se extrajo una computadora defectuosa en la primera sacada). P= P= P(A) =P P(A) =P = =

15 EVENTOS INDEPENDIENTES : DEFINICIÓN. A y B son eventos independientes o mutuamente independientes si solo si A es independiente de B (ó B es independiente de A) DEFINICIÓN. A y B son eventos independientes o mutuamente independientes si solo si A es independiente de B (ó B es independiente de A) TEOREMA. TEOREMA. Si A y B son independientes P (A Si A y B son independientes P (A CONSECUENCIA. Sí A son independientes CONSECUENCIA. Sí A son independientes p

16 Ejemplo. Ejemplo. Sea E el experimento de lanzar una moneda dos veces consecutivos o lanzar dos monedas a la vez.¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? Sea E el experimento de lanzar una moneda dos veces consecutivos o lanzar dos monedas a la vez.¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? SOLUCIÓN: SOLUCIÓN: P(obtener dos cosas) = P (obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento). P(obtener dos cosas) = P (obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento). Sea A = {obtener 2 caras} Sea A = {obtener 2 caras} A 1 = (Obtener cara en el primer lanzamiento). A 1 = (Obtener cara en el primer lanzamiento). A 2 = (Obtener cara en el segundo lanzamiento) A 2 = (Obtener cara en el segundo lanzamiento) ; P(A) = P(A ; P(A) = P(A 1 Si A son independientes Si A 1 y A 2 son independientes P(A) = P(A) =

17 2.6 TEOREMA DE LA PARTICIÓN DE 2.6 TEOREMA DE LA PARTICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL ESPACIO MUESTRAL Sea B y sea Ai S i=1,2,....n talque Sea B y sea Ai S i=1,2,....n talque a) a) b) b) P (B) = P (B) = Se conoce con el nombre de probabilidad total del evento B. Se conoce con el nombre de probabilidad total del evento B.

18 2.6 TEOREMA DE BAYES 2.6 TEOREMA DE BAYES Sea el conjunto de eventos A 1, A 2, A 3 …… … A n Sea el conjunto de eventos A 1, A 2, A 3 …… … A n una partición del espacio muestral S, donde una partición del espacio muestral S, donde P (A) entonces: para cualquier P (A i ) entonces: para cualquier evento B para el que P(B) 0 evento B para el que P(B) 0 para i para i P

19 EJEMPLO 1: Un Centro Educativo aplica tres métodos de enseñanza que incluye 60% de tipo I, 30% de Tipo II y 10% de tipo III y que la probabilidad de que un estudiante apruebe, es 0.75 para el tipo I, 0.50 para el tipo II y 0.25 para el tipo III. Un Centro Educativo aplica tres métodos de enseñanza que incluye 60% de tipo I, 30% de Tipo II y 10% de tipo III y que la probabilidad de que un estudiante apruebe, es 0.75 para el tipo I, 0.50 para el tipo II y 0.25 para el tipo III. A)¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe ? A)¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe ? B)¿Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado ¿Cuál es la probabilidad que se haya acogido el método de enseñanza del tipo II?. B)¿Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado ¿Cuál es la probabilidad que se haya acogido el método de enseñanza del tipo II?. Solución: Solución: SeaA 1 = {El método de enseñanza sea del tipo I} SeaA 1 = {El método de enseñanza sea del tipo I} A 2 = { El método de enseñanza sea del tipo II} A 2 = { El método de enseñanza sea del tipo II} A3 ={ El método de enseñanza sea de tipo III} A3 ={ El método de enseñanza sea de tipo III} P (A) = 0.6 ; P(A) = 0.30, P(A= 0.10 P (A 1 ) = 0.6 ; P(A 2 ) = 0.30, P(A 3 )= 0.10

20 A) D = {Que el estudiante elegido este aprobado} A) D = {Que el estudiante elegido este aprobado} P(D) = D P(D) = D = = P(D) = P P(D) = P P P P P P P P P(D) = = probabilidad de que un estudiante APRUEBE P(D) = = probabilidad de que un estudiante APRUEBE

21 B) Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado. cuál es la probabilidad de que se haya acogido al método de enseñanza de tipo II.? B) Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado. cuál es la probabilidad de que se haya acogido al método de enseñanza de tipo II.?

22 FIN -II

23 3.0 VARIABLES ALEATORIAS 3.0 VARIABLES ALEATORIAS Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales y lo denotamos por una letra mayúscula; y una minúscula para sus valores. y lo denotamos por una letra mayúscula; y una minúscula para sus valores. EJEMPLO : EJEMPLO : Se lanza tres monedas sobre una mesa. Se lanza tres monedas sobre una mesa. S R S R X X

24 Si X es la variable aleatoria que determina el # de caras en el experimento entonces. Si X es la variable aleatoria que determina el # de caras en el experimento entonces. X (CCC) = 3 X(CSC) = 2 X(SSC) = 1 X(CSS) = 1 X (CCC) = 3 X(CSC) = 2 X(SSC) = 1 X(CSS) = 1 X (CCS) = 2 X(SCC) = 2 X(SCS) = 1 X(SSS) = 0 X (CCS) = 2 X(SCC) = 2 X(SCS) = 1 X(SSS) = 0 Por lo tanto x toma los valores Por lo tanto x toma los valores x : 0, 1, 2, 3 x : 0, 1, 2, VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si un espacio muestral es finito (discreto) la variable aleatoria definida sobre este espacio será discreto. Representado la mayoría de las veces por datos discretos. Si un espacio muestral es finito (discreto) la variable aleatoria definida sobre este espacio será discreto. Representado la mayoría de las veces por datos discretos.

25 3.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA 3.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es aquella que está definida en un espacio muestral continuo, representando en la mayoría de los casos datos referente medidas tales como: tallas, pesos, temperaturas, distancias, etc. Es aquella que está definida en un espacio muestral continuo, representando en la mayoría de los casos datos referente medidas tales como: tallas, pesos, temperaturas, distancias, etc. 3.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. 3.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. Se dice que f(x) es una función o distribución de probabilidad (función de cuantía) de la variable discreta aleatoria X. Si para cada x resulta posible que: Se dice que f(x) es una función o distribución de probabilidad (función de cuantía) de la variable discreta aleatoria X. Si para cada x resulta posible que: 1).f(x) 1).f(x) 2). 2). 3).P(X=x) = f(x) 3).P(X=x) = f(x)

26 EJEMPLO: EJEMPLO: Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes, hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados. Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes, hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados. Solución Solución Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: f(x) = P(X=x), f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(x) = P(X=x), f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8, donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8, donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1

27 X X f(x) f(x) La distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta f(x) está dada por F(x). donde F(x) = P

28 EJEMPLO : EJEMPLO : Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior: Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior: 0 si 0 si si <1 si <1 F(x) = si 1 F(x) = si 1 si si 1 x 1 x

29 3.11 ESPERANZA MATEMÁTICA Dado una variable aleatoria con distribución de cuantía o probabilidad f(x), el valor esperado o la esperanza matemática de x esta dado por: EJEMPLO : EJEMPLO : En un juego de apuesta, un estudiante debe ganar $ 5, si al tirar 3 monedas obtiene todas cara o todas sello y paga $3 si sale 1 o 2 caras, conviene participar en la apuesta.? En un juego de apuesta, un estudiante debe ganar $ 5, si al tirar 3 monedas obtiene todas cara o todas sello y paga $3 si sale 1 o 2 caras, conviene participar en la apuesta.? x: 5, -3 x: 5, -3 P(x=5) = ¼ P(x=5) = ¼ P(x=-3) = ¾ P(x=-3) = ¾ por el resultado obtenido no conviene participar en la apuesta por el resultado obtenido no conviene participar en la apuesta

30 3.12 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria x esta dada por EJEMPLO : EJEMPLO : Calcular la varianza de x donde x es el número de químicos de un comité de tres personas seleccionadas al azar entre un grupo de 4 químicos y 3 biólogos Calcular la varianza de x donde x es el número de químicos de un comité de tres personas seleccionadas al azar entre un grupo de 4 químicos y 3 biólogos x= 0, x = 1, x = 2, x = 3 : x= 0, x = 1, x = 2, x = 3 :

31 Def: Si x variable aleatoria y b usa constante entonces Def: Si x variable aleatoria y a una constante cualquiera. entonces Def: Si x variable aleatoria y a una constante cualquiera. entonces Def: Si x e y son variables aleatorias independientes, entonces

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