4. 0 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 4

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1 4. 0 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 4
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI Se caracteriza por: a) Ser un experimento aleatorio que consiste en efectuar una sola prueba con dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, arbitrariamente llamados éxito y fracaso. b) Por ser un experimento aleatorio que consiste en seleccionar un elemento de una población finita o infinita dividida en dos clases, arbitrariamente llamadas: “ la clase de los éxitos y la clase de los fracasos”. EJEMPLOS: Seleccionar un artículo de este lote que contiene un porcentaje de artículos defectuosos para verificar si es defectuosos o bueno. - Ejecutar un sólo tiro para ver si da en el blanco o no. - Encender un equipo de laboratorio para verificar si funciona o no. - Tomar un examen y calificar aprobado o desaprobado

2 DEF : Si la variable aleatoria x toma únicamente 2 valores x = 0,1 ; Si x = 1 el resultado es un éxito y x = 0 el resultado es un fracaso. La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos en un ensayo de Bernulli esta dado: P ( X(W) ) = x ) = F (x) = Px ( 1 - P) 1 - x ,x = 0 , 1 donde P es la probabilidad de conseguir un éxito y f define una función de cuantía llamada Cuantía de Bernulli con parámetro P. y su función de distribución esta dado por :

3 E[x] = p V[x ] = p*(1-p)

4 EJEMPLO 1: Se selecciona un artículo de un lote de 100 artículos que contiene 5 artículos defectuosos. Sí X es la v. a. que representa el número de artículos defectuosos: a) Hallar la función de cuantía. b) La función de distribución acumulada. c) La esperanza y varianza. SOLUCIÓN x x a) f (x) = P ( 1 – P) x = 0 , 1 x x f(x) = (0.95) ya que P = 5/100 ; 1 - P = Q = 0.95

5 b)La función de Distribución Acumulada F(x)
c) Esperanza y Varianza 1 E [ x] =  x P(x) = P = 0.05 x=0 V[ x ] = 0.05* 0.95 =

6 3.2 DISTRIBUCION BINOMIAL Esta distribución se caracteriza por:
Existir solamente dos posibles resultados en cada ensayo ( éxito y fracaso) La probabilidad de un éxito es la misma en cada ensayo Hay n ensayos donde n es constante Los n ensayos son independientes . DEF. La distribución de probabilidades se denomina distribución Binomial debido a que para x = 0,1,2, n , los valores de las probabilidades son los términos sucesivos del desarrollo binomial [ (1 –P) + P] n y las cantidades combinatorias n C x reciben el nombre de “coeficientes binomiales” donde:

7 x n-x B( x, n, P) = n Cx P (1-p) para x = 0,1, 2.........n
donde P: probabilidad de éxito f define una función de cuantía , con dos parámetros n, P y su función de distribución binomial está dada por: , x < 0 f(0) ,  x < 1 f(0) + f(1) ,  x < 2 F(x) = f((0)+f(1)+f(3) ,  x < 3 . , x  n E[X] = nP y V[x] = npq

8 a) cuatro de cinco instalaciones . b) al menos 4 de 5 instalaciones.
EJEMPLO 3: Se asegura que el 60% de las instalaciones generadoras de electricidad mediante energía solar en un Centro Educativo Experimental , los gastos de servicios se reducen al menos en una tercera parte . De acuerdo a lo anterior cuales son las probabilidades que se reduzca al menos en una tercera parte en: a) cuatro de cinco instalaciones . b) al menos 4 de 5 instalaciones. SOLUCION P = x = n = 5 a) b(4 , 5, 0.6) = 5 C 4 (0.6 )4 *( ) = 0.259

9 b) x = 4 ó x = 5 entonces b (5 , 5 , 0.6 ) = 5 C 5 (0.6 ) = P ( x >= 4 ) = P ( x = 4 ) + P ( x= 5 ) = =

10 3.5 DISTRIBUCION DE POISSON DEF.
Sea X una variable aleatoria que toma los valores posibles 0, 1, n .... , x es la frecuencia con la que se presenta un fenómeno en un intervalo de tiempo o en un espacio bi, tridimensional. La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos cuando el fenómeno aleatorio es de poisson , esta dado por: -  x P (X= x ) = e  ; x = 0, 1, 2, 3, x! Decimos que x tiene una distribución de Poisson con parámetro  > 0

11 TEOREMA Si x tiene la distribución de Poisson con parámetro  , entonces E [ x ] =  V [x ] = 
Ejemplo: El numero de fallas en una prueba atómica es en termino medio de 2 %, en una muestra de pruebas ¿ Cuál es la probabilidad de encontrar 16 fallas?. Solución  = 0.02*1000 =  = E(x) =20 f(x) = =

12 4. 0 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 4
4.0 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 4.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR Sea X una vía continua sin distribución uniforme sí: Gráficamente f(x) x

13 Donde su función acumulativa de distribución esta dada por:
1

14 Esta distribución de la variable aleatoria x continua puede transformarse en la siguiente densidad uniforme: Teorema : si x se distribuye uniformemente entonces

15 4.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL Definición.- La variable aleatoria X que toma todos los valores reales tiene una distribución normal (o gausiana). Si su función de densidad es de la forma ; Los parámetros deben satisfacer las condiciones El gráfico de la función tiene forma acampanada asintótica al eje X, simétrica con respecto al Centroide Vertical (recta perpendicular al eje x que pasa por x =) y continua en todo R.

16 Tiene sus puntos de inflexión en

17 La probabilidad Si f(x) es una función de densidad entonces debe cumplir que a) b) ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

18 Varianza de x 4.5 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Si X sigue una distribución normal (x ,u, ) entonces mediante la transformación se obtiene la normal estándar cuya densidad se puede expresar:

19 i) Z sigue una distribución normal (z,0,1)
y su grafico es: 4.5.1 CARACTERÍSTICAS: i) Z sigue una distribución normal (z,0,1) ii)Los puntos de inflexión están en iii)La media, Moda y Mediana coinciden y son iguales a cero iv)La forma es acampanada, simétrica con respecto a y i asintótica al eje Z y continua en todo R.

20 Gráfico:

21 El valor de F(z1) se encuentra directamente en la tabla
4. 6 MANEJO DE LA TABLA DE LA NORMAL I)Dados los valores de Z, encontrar el área comprendida Si Z>0 i) El valor de F(z1) se encuentra directamente en la tabla EJEMPL0:

22 ii) Si Z<0: P(Z<-z)=F(-z)=1-F(z)
EJEMPLO:

23 ii) Si la probabilidad dada es <0.50 los valores de Z
II) Dada la probabilidad encontrar Z i)- Si la probabilidad dada es mayor o igual a 0.5 el valor de Z se lee directamente en la tabla ii) Si la probabilidad dada es <0.50 los valores de Z son negativos y se tiene: F(-z) = P ; p < 0.500 1 – F(z) = P F(z) = 1 – p ; donde 1 – p ya es mayor que y el valor de F(z) se lee directamente en la tabla. EJEMPLO:

24 EJEMPLO: F(-z)=0.1469 1-F(z1)=0.1465 F(z1) = 0.8535 z1 =1.05
por simetría -z1 = Determinar Z1, si F(z1)=0.64 cuando la probabilidad no esta en la tabla se usa la interpolación lineal. F(z1) z1 0.6406 0.36 0.64 0.6368 0.35

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