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X S R 3.0 VARIABLES ALEATORIAS Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales y lo denotamos por una letra mayúscula; y una.

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1 X S R 3.0 VARIABLES ALEATORIAS Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales y lo denotamos por una letra mayúscula; y una minúscula para sus valores. EJEMPLO : Se lanza tres monedas sobre una mesa. Si X es la variable aleatoria que determina el # de caras en el experimento entonces. X (CCC) = 3 X(CSC) = 2 X(SSC) = 1 X(CSS) = 1 X (CCS) = 2 X(SCC) = 2 X(SCS) = 1 X(SSS) = 0 Por lo tanto x toma los valores x : 0, 1, 2, 3

2 3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si un espacio muestral es finito (discreto) la variable aleatoria definida sobre este espacio será discreto. Representado la mayoría de las veces por datos discretos. 3.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es aquella que está definida en un espacio muestral continuo, representando en la mayoría de los casos datos referente medidas tales como: tallas, pesos, temperaturas, distancias, etc. 3.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. Se dice que f(x) es una función o distribución de probabilidad (función de cuantía) de la variable discreta aleatoria X. Si para cada x resulta posible que: 1).f(x) 2). 3).P(X=x) = f(x)

3 EJEMPLO: Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes, hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados. Solución Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: f(x) = P(X=x), f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8, donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1 X f(x)

4 3.4 DISTRIBUCION ACUMULATIVA F(x). La distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta f(x) está dada por F(x). donde F(x) = P EJEMPLO : Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior: 0 si x < 0 si <1 F (x) =si 1 < x < 2 si 1 si x

5 3.6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA f(x) es una función de densidad o de probabilidad, si está definida del espacio muestral continuo, al conjunto R de números reales si cumple que: 1). f(x) 0 2). f(x) dx =1 3). P(a < X < b) = f(x) dx

6 EJEMPLO : Sea la variable aleatoria X que tiene como función de densidad. 0 en otro lugar. 1). Verificar2 y 3 2). CalcularP(0< x < 1 ) f(x) = - 1< x< 2 SOLUCIÓN 1). 2). P(0

7 3.6 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN o función acumulativa F(x) Si X es una variable aleatoria continua, con función de densidad f(x), entonces la función de distribución acumulativa F(x) esta dado por: F(x) = P 3.7 CONSECUENCIA P(a < X < b) = F(b) - F (a) f(x) = si existe la derivada

8 EJEMPLO: a). Encuentre F(x) del ejemplo anterior b). Calcular P SOLUCIÓN a ). F(x) = = = b) P =

9 3.11 ESPERANZA MATEMÁTICA Dado una variable aleatoria con función de cuantía o densidad f(x), el valor esperado o la esperanza matemática de x es : 3.12 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria x esta dada por : 2 p(x) Nota E(x)=u y E()=

10 PROPIEDADES DE LA ESPERANZA Sean X e Y variables aleatorias y c una constante perteneciente a los reales: E (c ) = c E (X+c ) = E(X) + c E (cX) = c E(X) E (X+Y) = E(X) + E(Y) E (X-Y) = E(X) - E(Y) Si X e Y son independientes E (XY) = E(X) * E(Y) EJEMPLO 1: En un juego de apuesta, un estudiante debe ganar $ 5, si al tirar 3 monedas obtiene todas cara o todas sello y paga $3 si sale 1 o 2 caras, conviene participar en la apuesta.? x: 5, -3 P(x=5) = ¼ P(x=-3) = ¾ por el resultado obtenido no conviene participar en la apuest a

11 EJEMPLO 2: Si X variable a. c. que representa la vida en horas de una válvula electrónica, dado por. Encuentre la vida esperada de este tipo de válvula. SOLUCIÓN

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