LEYES DE PROBABILIDAD.

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1 LEYES DE PROBABILIDAD

2 Leyes de probabilidad:
Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma: Es una verdad evidente que no requiere demostración. Teorema: Es una verdad que requiere ser demostrada.

3 Axioma 1: Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A  S, entonces se cumple que 0  P(A)  1 esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A) ___________________________________

4 Axioma 2: La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es uno: P(S) = 1 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado. Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces:

5 Teorema 1: Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a cero: Ejemplos: Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado. Que una persona viva 250 años. En estos casos los eventos son vacíos.

6 Axioma 3: Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que: A  S, B  S y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A  B) = P(A) + P(B)

7 Ejemplo: Experimento: “Se lanzan dos monedas”. Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4 Sean los eventos: A: “Caen dos soles exactamente”. B: “Cae un sol exactamente”. Los elementos de A y B son: A = { ss }, B = {sa, as}. Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay elementos en común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, por tanto P(A  B) = P(A) + P(B)

8 Continuación del ejemplo:

9 Axioma 4: Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente excluyentes: P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

10 Continuación: Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

11 Ejemplo: A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2
Experimento: “Se lanza un dado”. Sean los eventos: A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”. B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”. C: “Que salga el 1 o 3”. Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2 C = {1, 3} , N(C) = 2

12 Continuación: Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que: A  B = {}, A  C = { }, B  C = { } Por axioma 4: P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

13 Teorema2: Ley aditiva de la probabilidad.
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B  , entonces: P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

14 DIFERENCIA: Sean A y B dos eventos: A - B = { x | x  A y x  B }

15 Ejemplo: Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”. S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(S) = 12 Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”. Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 A  B = { 2s } N(A  B ) = 1

16 Teorema 3: Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral, tal que A  S, si Ac es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(Ac) = 1 – P(A)

17 Ejemplo: Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”. S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } N(S) = 12 Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”. Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”. A = { 2s, 3s }, N(A) = 2 B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3 Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a } Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

18 Probabilidad condicional:
Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

19 Eventos independientes
Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen: Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

20 Probabilidad condicional:
Ley Multiplicativa de la Probabilidad. Ya que (A  E) = (E  A) y despejamos a P(A  E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

21 Probabilidad condicional:
Si A y B son independientes:

22 Ejemplo: Experimento: “Lanzar un dado”.
Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”. Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”. Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. S = {1,2,3,4,5,6} A = {3}, E = { 1,3,5}, (AE) = {3}, P(A) = 1/6

23 Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que: A  AC = S B  BC = S es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

24 Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc
Total A A  B A  Bc Ac Ac  B Ac  Bc S

25 Tabla de número de elementos de A, B y sus complementos Ac, Bc
Total A N(A  B) N(A  Bc) N(A) Ac N(Ac  B) N(Ac  Bc) N(Ac) N(B) N(Bc) N(S)

26 Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus intersecciones
Total A P(AB) P(ABc) P(A) Ac P(AcB) P(AcBc) P(Ac) P(B) P(Bc) P( Ω)

27 Probabilidades condicionaLES:
P(A/B) = P(A  B)/P(B) P(B/A) = P(A  B)/P(A) P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc) P(B/Ac) = P(Ac  B)/P(Ac) P(Ac/B) = P(Ac  B)/P(B) P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A)

28 Ejemplo: En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas, ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?: a).- Mujer. b).- Hombre. c).- Mujer dado que está empleado. d).- Desempleado dado que es hombre. e).- Empleado dado que es mujer.

29 Solución: Sean los eventos: M: “Que sea Mujer”. H: “Que sea Hombre”. D: “Que sea Desempleado”. E: “Que sea Empleado” Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S. Desempleados : D Empleados: E Total Mujeres: M 800 3200 4000 Hombres: H 200 3800 1000 7000 8000

30 Tabla de probabilidades:
Total M 800/8000 = 0.1 3200/8000= 0.4 4000/8000= 0.5 H 200/8000= 0.025 3800/8000= 0.475 1000/8000= 0.125 7000/8000= 0.875 8000/8000= 1

31 Continuación: P(M) = 0.50 P(H) = 0.50 P(E) = P(D) = P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05 P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8 P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8 P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2

32 Continuación: Eventos dependientes e independientes En el ejemplo anterior se tiene que: P(M) = 0.50 P(H) = 0.50 P(E) = P(D) = P(ME) = 0.40 P(M) P(E) = P(DH) = P(D) P(H) = P(MD) = 0.10 P(M) P(D) = P(EH) = P(E) P(H) =

33 Continuación: Por tanto los eventos M y E , D y H, M y D, E y H son dependientes.

34 Ley multiplicativa: INDEPENDENCIA DE n EVENTOS

35 Probabilidad total: Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai  Aj =  para toda i y toda j, y además S = A1  A2  A3  An A1 A2 A3 A4 A5 A6 An

36 Y sea E otro evento tal que E  S y E  Ai  
An E E

37 Entonces: E = S  E = (A1  A2 A3 An)  E = (A1  E)  (A2  E)  (A3  E)  (An  E) Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que: P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E) Ya que (Ai  E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j

38 P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)
Como (Ai  E) = (E  Ai) entonces P(Ai  E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai) Entonces la probabilidad completa de E es: P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

39 Ejemplo: En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

40 Solución: Sea D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.
P(M1) = P(D/M1) = 0.03 P(M2) = P(D/M2) = 0.04 P(M3) = P(D/M3) = 0.05 P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = 0.03(0.50) (0.30) (0.20) = 0.037

41 Máquina 1 Defectuoso No defectuoso Maquina 2 Maquina 1

42 M1 D ND M2 M3 P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
P(ND/M1) = 0.97 P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04 M2 P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012 P(ND/M2) = 0.96 P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05 M3 P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01 P(ND/M3) = 0.95

43 Teorema de bayes: Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

44 Continuación:

45 Ejemplo: En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso?

46 Solución: Sea D: “Que el artículo sea defectuoso”. ND: “Que el artículo no sea defectuoso”. M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”. M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”. M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”. P(M1) = .50 P(D/M1) = .03 P(M2) = .30 P(D/M2) = .04 P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

47 M1 D ND M2 M3 P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
P(ND/M1) = 0.97 P(M2) = 0.30 P(D/M2) = 0.04 M2 P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012 P(ND/M2) = 0.96 P(M3) = 0.20 P(D/M3) = 0.05 M3 P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01 P(ND/M3) = 0.95

48 Continuación: Por teorema de Bayes se tiene: La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%