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Variables Aleatorias Distribuciones DAGOBERTO SALGADO HORTA.

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1 Variables Aleatorias Distribuciones DAGOBERTO SALGADO HORTA

2 Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real X : R Ejemplo N°1: = falla, no falla X( no falla ) = 0 X( falla ) = 1 Variables Aleatorias

3 falla no falla Espacio Muestral X({falla}) = 1 X({no falla}) = Conjunto Números Reales IR X : R x X -1 ( -, x ) Familia de eventos elementales IR A cada s le corresponde exactamente un valor X(s) Variables Aleatorias

4 ab El espacio R X es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s). En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral El espacio muestral original induce un espacio muestra Rx asociado a la Variable Aleatoria X Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral R X RXRX X(s) = b; s X(s) = a sisi A sksk Variables Aleatorias

5 ( a < x < b ) ( a < x b ] [ a x < b ) [ a x b ] Nótese que para cada par de números reales a y b existen los siguientes conjuntos ab RXRX X(s) = b; s X(s) = a sisi sksk A ( x > a ( x a x < b ) - x b ]- Variables Aleatorias

6 El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral se puede aplicar a eventos en R X. RXRX X: R X X(s) = x 1010 f : R [0, 1] f(x) 0 P(X(s) = x ) = f(x) 1 s Función de Probabilidad

7 Variable Aleatoria X : R X -1 ( -, x ) Variable Aleatoria Discreta Sea C (con C ) Soporte contable f : C RC = c i : i I N i) f(c i ) 0 ii) = 1 Usando la transformación X

8 Sea X una variable aleatoria. Si el número de posibles valores de X (esto es su R X ). - Es finito (contable) o. - Es contablemente infinito (denumerable). Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta. Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados. X 1, x 2, x 3,...., x n, En el caso contable la lista es finita. - En el caso denumerable la lista es infinita contable Variable Aleatoria Discreta

9 Sea C X: C tal que i) p(c i ) = Pr(c i ) 0 X(c i ) = x i P(A) = IR ACciii i i x X P : i )( ) p(cp(c Conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C X es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = c i : i N En algunos textos se utiliza la letra f para acentuar que la variable aleatoria discreta es una fución Sea A el evento tal los eventos elementales c i C pertnezcan también a A, esto es c i C A. Usando la transformación X Variable Aleatoria Discreta

10 x P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de masa Función de Frecuencia x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x n f(x i ) Los f(x i ) deben satisfacer 0 f(x i ) 1; i = 1, 2, 3,..., n f(x i ) = 1 El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantia. A cada resultado posible x i se asocia un número f(x i ) = P(X(s) = x i ) llamado la probabilidad de x i i Función de Probabilidad v.a. Discreta

11 X(c i ) = x i P(A) = Propiedades función de cuantia: 1. P ( X = x i ) 0 2. P ( X = x i ) = 1 3. Función de Distribución: F(x) = P ( X = x i ) = f ( x i ) x i x i

12 Esperanza de una v.a. X Varianza de una v.a. X

13 1. Distribución Bernoulli X : R P(X (ω) =0) = 1 – p P(X (ω) =1) = p E X = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p V X = ( 0 - p ) 2 ( 1 - p ) + ( 1 - p ) 2 p = p ( 1 - p ) Distribuciones Discretas Especiales

14 Consideremos un solo experimento sea A un evento asociado con tal experimento. supongamos que P(A) = p; luego P(A c ) = 1- p P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 – p f(x) = P(X =x) = p x (1 – p) 1-x X = 0, 1 0 < p < 1 Entonces su función de cuantía es 0 01 p = 0,7 x f(x) Sea la v.a. X(A ) = 1 X(A c ) = 0 Función de Distribución v.a. Discreta

15 2. Distribución Binomial Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad p. X: N° de piezas defectuosas en las n extracciones Entonces k = 0, 1, 2,......,n Distribuciones Discretas Especiales

16 E X = np V X = np (1-p) Notación:X B( n, p ) Se utiliza en el muestreo de una población finita con reemplazo. También cuando la población es muy grande, con o sin reemplazo, ya que p se hace relativamente constante.

17 x n Sean n repeticiones independientes del experimento consiste de todos los posibles secuencias { a 1, a 2, a 3,.., a n }, donde cada a i puede ser un evento A o un evento A c. Existen 2 n de tales secuencias Sea la variable aleatoria X := número de veces que ocurre el evento A sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3,....., n f(x) = P(X = x) = p x (1 –p) n-x x = 0, 1, 2,......,n 0 < p < 1 0,000 0,100 0,200 0, n = 16 p = 0,2 x f(x) Función de Distribución v.a. Discreta

18 3. Distribución Hipergeométrica Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin defectos: N - D ). Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo. X: N° de artículos defectuosos en la muestra Distribuciones Discretas Especiales

19 k =0,1,2,.....,min n, D Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra ( N 10 n ).

20 4. Distribución de Poisson Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño p, y por lo tanto np el número total de artículos defectuosos en la muestra. Sea = np. Entonces k = 0, 1, 2, Distribuciones Discretas Especiales

21 E X = V X = Caso límite: X B( n, p ) con n p 0 N0N0

22 Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (x i, f(x i )) Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N). Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El para este experimento es: = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen. Cronstrucción de un Modelo Probabilístico

23 = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} x f(x) 0 (1-p) 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 2 3(1-p) p 2 3 p3p3 1 X( NND )= 1 X( NDN )= 1 X( DNN )= 1 3(1-p) 2 p 3 P(N) P(N) P(D) Creando un Modelo Probabilístico

24 x 1010 F(x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 xn P(X=x 5 ) = f(x 5 ) Función de Probabilidad de masa Función de Frecuencia F(x) = 0 x < x 1 = f( x i ) x 1 x < x 2 1 i = 1 = f( x i ) x 2 x < x 3 2 i = 1 = f( x i ) x 3 x < x 4 3 i = 1 = f( x i ) x 4 x < x 5 4 i = 1 Función de Distribución v.a. Discreta

25 Cuando el experimento se realiza sobre un espacio muestral que está relacionado con escalas intevalares ( tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura etc.) Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo valor de X = x i ; En tales casos se habla se Variables Aleatorias Continuas, donde R x es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial f: f(x) = lim h 0 > 0 P(x < X < x + h) h R R Variables Aleatorias Continuas

26 f(x) x f(x) > 0; Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface: x R x f(x) dx = 1 RxRx ab b a dxx P(A) = P(a < x < b) )( f A: un evento A: { x| a < x b) Variables Aleatorias Continuas

27 Están definidas por una densidad de v. a. X f : R R se dice densidad de probabilidad Propiedades Propiedades: 1. f (x) 0 2. Distribuciones de Probabilidad Continuas

28 Observaciones F (- ) = 0 ; F ( ) = 1 4. F x es no decreciente ab f(x) x

29 Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores: F(x) = P(X x) Si X es una v.a. Continua F(x) = f(t) dt Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t x x - Si X es una v.a. Continua Si X es una v.a. Discreta F(x) = f(x i ) Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satifacen x i x i x i x Si X es una v.a. Discreta Función de Distribución Acumulada

30 II) Sea F : R R,F u Distribución, entonces: i) F es no decreciente ii) F es continua por la derecha iii) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 Luego P( -, x ) = F(x) define una Probabilidad Además:P( a,b ) = F(b) - F(a) P( a,b ) = F(b) - F(a - ) P( a,b ) = F(b - ) - F(a) P( a,b ) = F(b - ) - F(a - ) Construcción de Modelos de Probabilidad

31 ab xf 1 )( a x b minmáx 0,0 0,1 0, ab f(x) x Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar cuarquier valor entre a x b; cuya pdf es: Sea a = 3; b = 12 A: el evento { 4 < x < 7 } Entonces: 7 4 dx P(A) = P(4 < x < 7) 9 1 P(A) = 1313 Variables Aleatorias Continuas

32 1.Distribución Uniforme: Dada la función de densidad La función de Distribución es Distribuciones Continuas Especiales

33 Notación: X U( a, b )

34 2. Distribución Normal F(x) : No tiene expresión analítica Distribuciones Continuas Especiales

35 Notación: X N(, 2 ) Estandarización Haciendo N( 0, 1 ) se tiene que: y F Z (z) se obtiene de tablas !

36 3. Distribución Rayleigh Distribuciones Continuas Especiales

37 4. Distribución Gamma Distribuciones Continuas Especiales

38 Función Densidad de Probabilidades

39 5. Distribución Chi-Cuadrado Evaluando en Gamma Se llega a que X 2 (n) ( n/2, 2 ) Distribuciones Continuas Especiales

40 6. Distribución Beta X ( r, s )ssi Distribuciones Continuas Especiales

41

42 Función Densidad de Probabilidades


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