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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Ingeniería DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN México, DF Abril 2005.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Facultad de Ingeniería DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS CALCULO II M.I. GUSTAVO ROCHA BELTRAN México, DF Abril 2005

2 USO DEL CARBONO 14 ( 14 C) PARA FECHAR Jaime González Méndez

3 La curiosidad por el tiempo El hombre siempre ha sentido curiosidad por el tiempo. El hombre siempre ha sentido curiosidad por el tiempo. Esta curiosidad lo ha llevado a investigar sobre su pasado. Para eso se ha valido de infinidad de herramientas. Esta curiosidad lo ha llevado a investigar sobre su pasado. Para eso se ha valido de infinidad de herramientas. Una de ellas es ubicar en el tiempo y espacio, los restos de animales, plantas, rocas etc., para poder darse una idea clara del entorno en aquellos tiempos remotos. Una de ellas es ubicar en el tiempo y espacio, los restos de animales, plantas, rocas etc., para poder darse una idea clara del entorno en aquellos tiempos remotos.

4 Fechamiento Al proceso de ubicar en el tiempo los restos fósiles se denomina Fechamiento o datación. Al proceso de ubicar en el tiempo los restos fósiles se denomina Fechamiento o datación. Para fechar los restos fósiles de seres vivos se utiliza el 14 Carbono, el que a partir de ahora identificaremos como 14 C Para fechar los restos fósiles de seres vivos se utiliza el 14 Carbono, el que a partir de ahora identificaremos como 14 C

5 ¿Qué es el Carbono 14? El Carbono 14 es un isótopo del Carbono 12 que todos conocemos, lo que lo hace diferente al 12 C es que el 14 C, tiene 8 neutrones en el n ú cleo y no 6 como es com ú n. El Carbono 14 es un isótopo del Carbono 12 que todos conocemos, lo que lo hace diferente al 12 C es que el 14 C, tiene 8 neutrones en el n ú cleo y no 6 como es com ú n. El 14 C a diferencia del 12 C es inestable y radioactivo, es decir desprende rayos (se desintegra) para posteriormente convertirse en Nitrógeno ( 14 N). El 14 C a diferencia del 12 C es inestable y radioactivo, es decir desprende rayos (se desintegra) para posteriormente convertirse en Nitrógeno ( 14 N).

6 ¿En que tiempo se desintegra el Carbono 14? Los isótopos radiactivos como el 14 C, se desin- tegran de una manera muy peculiar. Los isótopos radiactivos como el 14 C, se desin- tegran de una manera muy peculiar. Si tenemos n átomos de 14 C, pasará un determi- nado tiempo t para que la cantidad por desinte- grar se reduzca a n/2 y otro tiempo t para que se reduzca a n/4, es decir en cada tiempo t se logra desintegrar la mitad de átomos de los existentes anteriormente; de ahí que se emplee el termino vida media o periodo de semidesintegracion. Si tenemos n átomos de 14 C, pasará un determi- nado tiempo t para que la cantidad por desinte- grar se reduzca a n/2 y otro tiempo t para que se reduzca a n/4, es decir en cada tiempo t se logra desintegrar la mitad de átomos de los existentes anteriormente; de ahí que se emplee el termino vida media o periodo de semidesintegracion. De esta manera vida media se define como el tiempo transcurrido en el cual el numero de átomos del carbono decae a la mitad del número inicial. De esta manera vida media se define como el tiempo transcurrido en el cual el numero de átomos del carbono decae a la mitad del número inicial.

7 Tabla de vida media de algunos isótopos radiactivos IsótopoVida mediaIsótopoVida media Berilio seg. Polonio s Aluminio min. Carbono años Yodo días Carbono segundos Estroncio años Uranio x 10 8 años Radio días Uranio x 10 9 años Radio días Cobalto-60 5,3 años Radio días Radón días Radio años Unnilquadio segundos Radio años Tabla No. 1

8 Desintegración de 14 C Cada isótopo radiactivo tiene diferente periodo de semidesintegracion o vida media; en la tabla No. 1 se muestran algunos. Cada isótopo radiactivo tiene diferente periodo de semidesintegracion o vida media; en la tabla No. 1 se muestran algunos. De dicha tabla se obtiene que se necesitan 5730 [años] para que una cantidad cualquiera de átomos de 14 C se reduzca a la mitad, es decir 5730 [años] es el valor de la vida media del 14 C. El dato anterior nos conduce a la siguiente grafica. De dicha tabla se obtiene que se necesitan 5730 [años] para que una cantidad cualquiera de átomos de 14 C se reduzca a la mitad, es decir 5730 [años] es el valor de la vida media del 14 C. El dato anterior nos conduce a la siguiente grafica.

9 Curva de desintegración de 14 C Grafica No.1 t = T 1/2

10 Datación con Carbono-14 Ahora expliquémonos el porque de la posibilidad de fechar con 14 C, y por que se da solo en seres vivos: Las reacciones nucleares en la atmósfera que resultan del bombardeo por los rayos cósmicos, producen una pequeña porción de 14 C en CO 2 (Dióxido de Carbono) de la atmósfera. Las reacciones nucleares en la atmósfera que resultan del bombardeo por los rayos cósmicos, producen una pequeña porción de 14 C en CO 2 (Dióxido de Carbono) de la atmósfera. Las plantas que obtiene su carbono de esta fuente contiene la misma proporción de 14 C que la atmósfera. Las plantas que obtiene su carbono de esta fuente contiene la misma proporción de 14 C que la atmósfera. Cuando una planta muere, deja de absorber carbono y su 14 C se desintegra por emisión beta menos, transformándose en 14 N. Cuando una planta muere, deja de absorber carbono y su 14 C se desintegra por emisión beta menos, transformándose en 14 N.

11 Ciclo de 14 C Lo explicado anteriormente forma parte de un ciclo, el llamado ciclo del carbono, que se muestra en la figura No.1 Lo explicado anteriormente forma parte de un ciclo, el llamado ciclo del carbono, que se muestra en la figura No.1 Figura No.1

12 Datación con 14 C En el momento en que se somete a estudio el fósil de una planta, ésta ya tiene una buena cantidad de 14 C desintegrado, es ahí cuando se relaciona los átomos restantes de 14 C con los originales para poder saber la edad que tiene esa planta de haber muerto. En el momento en que se somete a estudio el fósil de una planta, ésta ya tiene una buena cantidad de 14 C desintegrado, es ahí cuando se relaciona los átomos restantes de 14 C con los originales para poder saber la edad que tiene esa planta de haber muerto. La duda ahora es, que fórmula, ecuación o artificio matemático se emplea para determinar la edad de un fósil de ser vivo a partir de los átomos restantes (aun no desintegrados) de 14 C. Es ahí donde el Cálculo hace su aplicación. La duda ahora es, que fórmula, ecuación o artificio matemático se emplea para determinar la edad de un fósil de ser vivo a partir de los átomos restantes (aun no desintegrados) de 14 C. Es ahí donde el Cálculo hace su aplicación.

13 Datación con 14 C Al estudiar por primera vez un fósil de ser vivo se encuentra que conserva aún un numero cualquiera de átomos de 14C, al que llamaremos N, que en sí representa en número de átomos de 14C en un tiempo dado. Al estudiar por primera vez un fósil de ser vivo se encuentra que conserva aún un numero cualquiera de átomos de 14C, al que llamaremos N, que en sí representa en número de átomos de 14C en un tiempo dado. Podemos también decir que un dN es el cambio en N durante un intervalo de tiempo dt. Podemos también decir que un dN es el cambio en N durante un intervalo de tiempo dt.

14 Velocidad de desintegración La razón de cambio de N es la cantidad negativa dN/dt, así pues –dN/dt se llama velocidad de desintegracion o actividad. La razón de cambio de N es la cantidad negativa dN/dt, así pues –dN/dt se llama velocidad de desintegracion o actividad. El signo menos se explica debido a que dN siempre es negativo. El signo menos se explica debido a que dN siempre es negativo. La unidad para medir la actividad es el Curie (Ci), que representa 3.70 * desintegraciones/seg. La unidad para medir la actividad es el Curie (Ci), que representa 3.70 * desintegraciones/seg. dt-dNA/

15 Velocidad de Desintegración Si observamos nos podemos dar cuenta si tenemos una cantidad muy grande de núcleos de 14 C, una cantidad muy grande también será la que se desintegrara en cualquier intervalo de tiempo. De este modo podemos decir que la actividad es directamente proporcional a N, por lo que queda: Si observamos nos podemos dar cuenta si tenemos una cantidad muy grande de núcleos de 14 C, una cantidad muy grande también será la que se desintegrara en cualquier intervalo de tiempo. De este modo podemos decir que la actividad es directamente proporcional a N, por lo que queda: dt dN N

16 De la ecuación anterior, la constante que convierte la proporcionalidad en igualdad se llama constante de desintegración y tiene diferentes valores para cada uno de los isótopos radiactivos. De la ecuación anterior, la constante que convierte la proporcionalidad en igualdad se llama constante de desintegración y tiene diferentes valores para cada uno de los isótopos radiactivos. Si despejamos vemos que es la razón del número de desintegraciones por unidad de tiempo al número de núcleos restantes. Si despejamos vemos que es la razón del número de desintegraciones por unidad de tiempo al número de núcleos restantes. Por lo que puede interpretarse como la probabilidad por unidad de tiempo de un núcleo individual de desintegre. Por lo que puede interpretarse como la probabilidad por unidad de tiempo de un núcleo individual de desintegre. Constante de Desintegración N dt dN Ec. 1

17 La ecuación anterior se puede escribir en una forma ligeramente diferente, y esto es posible si existen No átomos en el tiempo t = 0, entonces queda: La ecuación anterior se puede escribir en una forma ligeramente diferente, y esto es posible si existen No átomos en el tiempo t = 0, entonces queda: Lo que resolviendo queda: Lo que resolviendo queda: Datación con 14 C N NoNo t t dt N dN 0 t NoNo N Ln

18 La solución anterior despejando N, queda: La solución anterior despejando N, queda: Si esa ecuación la multiplicamos por, se convierte en: Si esa ecuación la multiplicamos por, se convierte en: Donde N es también la actividad o velocidad de desintegración, y No la actividad inicial. De este modo la ecuación queda: Donde N es también la actividad o velocidad de desintegración, y No la actividad inicial. De este modo la ecuación queda: Datación con 14 C t NoNo N t NoNo N t AoAo A Ec. 2 Ec. 3

19 Datación con 14 C Si queremos expresar la ultima ecuación obtenida en su forma logarítmica, esta queda: Si queremos expresar la ultima ecuación obtenida en su forma logarítmica, esta queda: t Ln A o Ln A

20 Gráfica en Ln A vs t Cuando se grafica la ecuación anterior, (Ln A contra t), da una recta cuya pendiente es igual a – Cuando se grafica la ecuación anterior, (Ln A contra t), da una recta cuya pendiente es igual a – t [tiempo] Ln de la Actividad = Ln A = Ln Ao - t Ln Ao

21 Calculando la Vida media de 14 C Con lo que respecta a la vida media (T 1/2 ) de 14C, decimos que cuando t = T 1/2,, entonces N se reduce a la mitad de la cantidad inicial o lo que es lo mismo; N = ½ N o. Con lo que sustituyendo en en Ec. 2 tenemos: Con lo que respecta a la vida media (T 1/2 ) de 14C, decimos que cuando t = T 1/2,, entonces N se reduce a la mitad de la cantidad inicial o lo que es lo mismo; N = ½ N o. Con lo que sustituyendo en en Ec. 2 tenemos: ó T No T

22 Calculando de Vida media de 14 C De lo anterior si aplicamos logaritmo Natural queda: De lo anterior si aplicamos logaritmo Natural queda: De donde la vida media es: De donde la vida media es: Y como l es *10 -4 [años -1 ], T 1/2 queda Y como l es *10 -4 [años -1 ], T 1/2 queda 2 1 2TLn Ln T T [años]

23 Datación con 14 C Sin embargo; de la Ec. 2 nos quedó una expresión que no es útil para determinar la Edad de un fósil de un ser vivo. Sin embargo; de la Ec. 2 nos quedó una expresión que no es útil para determinar la Edad de un fósil de un ser vivo. la cantidad de átomos de 14 C (N o ) presentes en la atmósfera y obviamente en el cuerpo de ser vivo en el momento de su muerte, es una constante que puede ser descubierta por otros métodos e investigaciones; por tanto, lo mas conveniente es dejar la Ecuación en términos del tiempo t. la cantidad de átomos de 14 C (N o ) presentes en la atmósfera y obviamente en el cuerpo de ser vivo en el momento de su muerte, es una constante que puede ser descubierta por otros métodos e investigaciones; por tanto, lo mas conveniente es dejar la Ecuación en términos del tiempo t.

24 Datación con 14 C Entonces queda: Entonces queda:ó Que es ya la ecuación con la que podemos fechar o datar un fósil de ser vivo. Que es ya la ecuación con la que podemos fechar o datar un fósil de ser vivo. Ln NLn No t Ln NoLn N t

25 Fechamientos realizados con 14C Muestra Edad Conocida [Años] Edad por el 14 C [Años] Carbón de la caverna de Lascaux (conocida por sus pinturas rupestres) ± 900 Placa de madera de una viga del techo de la tumba del Visir Hemaka 4700± ± 20 Viga de ciprés de la tumba del Faraón Sneferu 4575± ± 210 Cornamenta de venado de una reservación India en el Condado de Butler, Kentucky 4333 ± 450 Madera de la cubierta de la nave sepulcral de la tumba del faraón Sesostris III ± 180 Pintura de Bosquimanos, Sudáfrica 3368 ± 200 Madera de una secoya gigante conocida como el Tocón Centenario, caída en ± ± 130 Rollos del Mar Muerto 2054 ± ± 200

26 Restricciones del Fechamiento con 14 C Como todo buen método, el fechamiento con 14 C también tiene restricciones o limitaciones: Como todo buen método, el fechamiento con 14 C también tiene restricciones o limitaciones: Solo puede medir la edad de fósiles no mayor a años, debido a que después de 7 vidas medias la cantidad de 14 C contenida en un fósil es tan escasa que no es posible detectar. Solo puede medir la edad de fósiles no mayor a años, debido a que después de 7 vidas medias la cantidad de 14 C contenida en un fósil es tan escasa que no es posible detectar. Solo puede calcular la edad seres vivos; no de rocas o algún material mineral. Solo puede calcular la edad seres vivos; no de rocas o algún material mineral.

27 Conclusiones Con todo lo investigado anteriormente doy por terminado un proyecto en el que una vez mas el Cálculo tiene aplicación, situación que lo hace interesante. Con todo lo investigado anteriormente doy por terminado un proyecto en el que una vez mas el Cálculo tiene aplicación, situación que lo hace interesante. Concluyo que el proyecto realizado sirvió para darme cuenta de las aplicaciones verdaderas que el Cálculo tiene, cuestión que no se ve en el aula. Concluyo que el proyecto realizado sirvió para darme cuenta de las aplicaciones verdaderas que el Cálculo tiene, cuestión que no se ve en el aula. Espero que el trabajo realizado por un servidor sea, útil para aquellos lectores que desee entender, el proceso e Datación con 14 C. Espero que el trabajo realizado por un servidor sea, útil para aquellos lectores que desee entender, el proceso e Datación con 14 C.

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