Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones
2012 DOCENTE: ADALBERTO PATERNINA A. INSTITUCION EDUCATIVA PEDRO CASTELLANOS

Justificación Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las ciencias naturales, la matemática, las ramas de administración de empresas, la ingeniería, etc. Espero que este módulo sirva de guía para que los estudiantes se inicien en la comprensión de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.

Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?

COMPETENCIAS Verifica si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2. Resuelve un sistema 2 x 2 por el método de sustitución. Resuelve un sistema 2 x 2 por el método de gráfico. Resuelve un sistema 2 x 2 por el método de eliminación por adición

Definición Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones simultáneas. Ejemplos:

Aclaración El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de ecuaciones y el número de variables. Un sistema con tres ecuaciones y con tres variables se dice que es un sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres variables se dice que es un sistema 2x3. Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales, al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales. De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones no lineal.

Definición Una solución de un sistema 2x2 es un par ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las ecuaciónes del sistema. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el conjunto de todas las soluciones del sistema. El conjunto formado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones se conoce como el conjunto solución del sistema.

Ejemplo: Verifica si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones.

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, entre ellos, Método gráfico Método de sustitución Método de eliminación por adición Regla de Cramer Método de la matríz aumentada Método de matrices En esta sección solo trataremos el método gráfico, el método de sustitución y el método de eliminación por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.

Tipos de sistemas de ecuaciones Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar en tres tipos dependiendo de su conjunto de soluciones. Sistema consistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen una única solución. Las gráficas de las líneas son diferentes. Sistema consistente dependiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas son iguales. Sistema inconsistente independiente: Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Las dos gráficas de las líneas son paralelas.

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2 Procedimiento Las soluciones del sistema de ecuaciones serán los puntos de intersección entre las dos gráficas. Construya la gráfica de cada ecuación. Aclaración: Este método es útil solo si podemos leer con precisión los puntos de intersección entre las gráficas. En la mayoría de los casos eso no es posible.

Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
Sistemas de Ecuaciones Ejemplos: Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

Las dos líneas son paralelas, no tienen puntos de intersección. El conjunto de soluciones es vacío.

El sistema es dependiente y tiene infinitas soluciones. Las soluciones se pueden encontrar buscando puntos de cualquiera de las líneas.

El conjunto solución contiene dos pares ordenados.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2 PROCEDIMIENTO 1. Despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto producirá el valor de una de las variables. 3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplos: Resuelve usando el método de sustitución.
Sistemas de Ecuaciones Ejemplos: Resuelve usando el método de sustitución. Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos, Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos

Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación tenemos,

Escogiendo la ecuación, , tenemos Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,

Multiplicando la ecuación por 16 tenemos, Sustituyendo en la ecuación tenemos,

Método de Eliminación por Adición Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el objetivo que se elimine una de las variables. Procedimiento: Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando las ecuaciones por los números correspondientes. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede reemplazar por una sustitución.

Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos, Restando las ecuaciones obtenemos,

Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos,

Observación: Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar el método de sustitución. Sustituyendo y = 1 en la ecuación,

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Falso

Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos, Sumando las ecuaciones obtenemos, Cierto

Aplicaciones: 1. El precio de un boleto para cierto evento es de $2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden 450 boletos para un total de $ ; ¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

2. Una lancha de vapor operada a toda máquina hizo un viaje de 4 millas contra una corriente constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10 minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente a la lancha en aguas tranquilas en millas por hora.

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . Sistemas de Ecuaciones Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones 1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. 3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución . 4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.

5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación. 6. Resuelve el ejercicio. Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos de $ 15,100 al año?

Respuestas de la pre y pos prueba 1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 1 5) x = 5, y = -2 6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%

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