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REFERENCIAS The Chaos Hypertextbook, Glenn Elert Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…, D. Aubin y A. Dalmedico.

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2 REFERENCIAS The Chaos Hypertextbook, Glenn Elert Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002),

3 ¿QUE ES EL CAOS? 1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. - Modelo de Lorenz. (dimensión 3) - Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales. - La ecuación logística de May (dimensión 1) 2. Recapitulando. ¿Que es el caos? - Propiedades de un sistema caótico. - Regularidades en un sistema caótico. 3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke Teoría del Caos, ¿revolución científica?.

4 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Problema real (física, biología, meteorología...) Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales) Solución Matemática ¿Explica la realidad?

5 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Frío Atmósfera Calor Lámina rectangular

6 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. x´(t)= 10(y-x) y´(t)=28x-y-xz z´(t)=xy-8x/3 Modelo matemático Ecuaciones diferenciales (no lineales). Frío Atmósfera Calor Lámina rectangular

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8 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

9 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz (x 0, y 0, z 0 ) Condición Inicial Regla (x 1, y 1, z 1 ) Regla (x 2, y 2, z 2 )... ITERACION

10 Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz segundo temperatura segundo temperatura (x 0, y 0, z 0 ) Condición Inicial Regla (x 1, y 1, z 1 ) Regla (x 2, y 2, z 2 )... ITERACION

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12 Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. (x 0, y 0 ) Condición Inicial Regla (x 1, y 1 ) Regla (x 2, y 2 )... ITERACION Problema real (biología, mecánica celeste...) Modelo Matemático (Iteración) Solución Matemática ¿Explica la realidad?

13 Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. (x 0, y 0 ) Regla (x 1, y 1 ) Regla (x 2, y 2 )... (1/3y, 1+x-7y/5) (x,y)

14 Otros ejemplos. Atractor de Ikeda (Optica) a + b z exp i[k - p/(1 + |z| 2 )] z=(x,y) a,b,k,p parámetros

15 Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z 2 +c z c=-0,2-0,7i

16 Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá (z 3 +c)/(dz) z c=0,001 d=0,95-0,31225i

17 Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá (z 5 +c)/z 3 z c=0,001

18 Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

19 Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Brocoli IFS F

20 Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Helecho de Barnsley

21 Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. Problema real (física, química,biología...) Modelo Matemático (Iteración) Solución Matemática ¿Explica la realidad? x0x0 Condición Inicial Regla x1x1 x2x2... ITERACION

22 Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. A n = número de animales en el año n A n+1 = c A n c=tasa de crecimiento A n+1 = c A n (M-A n ) M= población máxima admitida se normaliza y... x n+1 = c x n (1- x n ) Ecuación logística xc x (1-x) ITERACION

23 Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

24 Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades Mitchell J. Feigenbaum 1944-

25 Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades Mitchell J. Feigenbaum c n = valor crítico en que se produce la bifurcación n

26 Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades Mitchell J. Feigenbaum c n = valor crítico en que se produce la bifurcación n c n -c n-1 c n+1 -c n 4, ¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!

27 Recapitulando... Propiedades de un sistema caótico - La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción. - Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración - El atractor es un fractal. - Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.

28 Recapitulando... Regularidades (orden) de un sistema caótico - Autosemejanza en atractores. Dimensión. - La solución al modelo acaba convergiendo al atractor. - Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov... - Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)

29 Un poco de historia Henri Poincaré Estudió el problema de los tres cuerpos. - Noción de bifurcación. - Métodos de geometría y topología. - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.

30 Un poco de historia Henri Poincaré Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible.

31 Un poco de historia Stephen Smale Medalla Fields, En los años 60, introduce los métodos, herramientas, objetivos y visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos. Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas! - Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con dinámica muy compleja.

32 Un poco de historia Atractor de E. Lorenz (metereólogo) Modelo atmosférico y atractor Can the flap of a butterflys wings in Brazil stir up a tornado inTexas? - Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y ver soluciones. - Modelos de fenómenos impredecibles. - Modelos simples de fenómenos complejos.

33 Un poco de historia Los años 70: Creciente uso de los ordenadores Artículo de Ruelle On the nature of turbulence. - Introduce concepto de atractor extraño. - Presenta las ecuaciones de Navier- Stokes en forma 1-dimensional: v´(t)=f r (v), r>0 - Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica

34 Un poco de historia Robert May, biólogo. La ecuación logística Li y Yorke, Period three implies chaos. Primer uso de la palabra caos B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales El símbolo: El congreso Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines La constante de M. Feigenbaum.

35 Teoría del Caos, ¿revolución científica? 2 - Sustitución de modelos 1 - Novedad y profundidad de los conceptos 4 - ¿Existe la ciencia del caos? 3 - El papel de los ordenadores


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