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1 AFDAFN AF Gramáticas lineales derecha Expresiones regulares Tema 2 Método de los AF Método de las derivadas Sistemas de Ecuaciones Tema 1.

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1 1 AFDAFN AF Gramáticas lineales derecha Expresiones regulares Tema 2 Método de los AF Método de las derivadas Sistemas de Ecuaciones Tema 1

2 2 Expresiones regulares Una expresión regular se define inductivamente como: denota el lenguaje vacío. denota { }. a, a denota {a}. Si r y s son expresiones regulares que denotan L r y L s : – (r) denota también L r. – r + s denota L r L s. – r s denota L r L s. – (r)* denota (L r )*. Solo son E. R. las definidas de esa manera. ( ) * Prioridad de operadores Concatenación Unión

3 3 Propiedades de equivalencia (,, son E.R.) 1. + ( + ) = ( + ) = ( ) = ( ). 4. ( + ) = + ; ( + ) = = = = + =. 7. * = 8. = =.9. * =. 10. * = + *. 11. ( * + *)* = ( * *)* = ( + )*. 12. ( )* = ( )*. 13. ( * )* * = ( + )*. 14. ( * )* = ( + )* +.

4 4 Equivalencia entre A.F. y E.R. q0q0 q0q0 q1q1 q0q0 {a}{a} a q0q0 q fA A q0q0 q fB B qfqf q0q0 q0q0 q fA A q0q0 B qfqf Unión Concatenación AF a partir de expresiones regulares

5 5 qAqA q fA A qfqf q0q0 Clausura AFD a partir de expresiones regulares: Mét. de derivadas D x (r) = x -1 r = {y * xy L(r)} Dados: r E. R., x *

6 6 Reglas del cálculo de Derivadas a) Respecto a símbolos (a, b, r, s E.R.) : 1. a -1 =. 2. a -1 =. 3. a -1 a = ; a -1 b = si a b. 4. a -1 (r + s ) = a -1 r + a -1 s. - ( a -1 r )s si r 5. a -1 (r s ) = - ( a -1 r )s + a -1 s si r 6. a -1 r* = (a -1 r ) r* b) Respecto a cadenas (a, x *) : r = r. 2. (xa) -1 r = a -1 (x -1 r).

7 7 Obtención de autómatas a partir de E. regulares Entrada: Expresión regular r Salida: AFD A equivalente a r. Método: Calcular {x -1 r x * } Definir A = (Q,,, q 0, F) como sigue Q = {x -1 r x * } alfabeto de r (x -1 r, a) = (xa) -1 r q 0 = -1 r = r x -1 r F x -1 r Un autómata A es equivalente a una expresión regular r sii L(A) = L(r)

8 8 Sistemas (lineales) de ecuaciones en expresiones regulares X = rX + s con r, s, X expresiones regulares Solución (lema de Arden) X = r* s es solución. Es única si r a) r* s es solución rX + s = r r* s + s = (r r* + ) s = r* s (p.10) b) Si r X = r* (s + t), t *. rX + s = r r* (s + t) + s = r r* s + r r* t + s = (r r* + ) s + r r* t = r* s + r* t = r* (s + t) Como r, r r* = r*

9 9 Sistema de ecuaciones lineales en e.r.: X 1 = r 11 X 1 + r 12 X r 1n X n + s 1 X 2 = r 21 X 1 + r 22 X r 2n X n + s X n = r n1 X 1 + r n2 X r nn X n + s n Método de Gauss aplicando lema de Arden para reducir Solución Aplicación: - Autómatas s. de ecuaciones e. regular -Gramáticas

10 10 Entrada: A = (Q,,, q 1, F); Q = {q 1, q 2,..., q n } Salida: Sistema de ecuaciones con X 1 = L(A) Método: Por cada q i introducir variable X i Si q i F entonces X i =....+ Si q j (q i, a) entonces X i =....+ a X j (siendo a { }) Sistemas de ecuaciones a partir de autómatas q2q2 q1q1 Ejemplo X 1 = 0 X X 2 X 2 = 1 X X 2 +

11 11 Entrada: G = (N,, P, S); Salida: Sistema de ecuaciones con S = L(G) Método: Por cada A N introducir variable A. Si A a P, a { } entonces A =....+ a Si A aB P, a { } entonces A =....+ aB Sistemas de ecuaciones a partir de gramáticas l. d. Ejemplo S = 0 S + 1 A A = 1 S + 0 A 2 + S 0 S | 1 A A 1 S | 0 A 2 |


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