La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

1 FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS. Heber Enrich.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "1 FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS. Heber Enrich."— Transcripción de la presentación:

1 1 FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS. Heber Enrich

2 2

3 3 Otro ejemplo de transformación: x=x/2 y=y/3 z=2z El origen es punto fijo (hiperbólico) x y z

4 4 a bx1x1 x2x2 x2x2 x i+1 =f(x i ) y=f(x) b x3x3 x3x3

5 5

6 6 Pendiente positiva pequeña: atractor unilateral. Pendiente positiva grande: repulsor unilateral. Pendiente negativa pequeña: atractor bilateral. Pendiente negativa grande: repulsor bilateral.

7 7 de un solo lado de los dos lados atractor repulsor

8 8 LA FAMILIA CUADRÁTICA. y =c (1-x 2 )-1 x n =c (1-x n-1 2 )-1 0 c c crecientes

9 9 0 < c 0,5 -1 punto fijo atractor unilateral Primera bifurcación: -1 repulsor Surge punto fijo atractor unilateral. 0.5 < c < 1

10 10 0 < c 0,5 -1 punto fijo atractor unilateral 0.5 < c < 1 Gráficas de f º f

11 11 Punto fijo repulsor. ¿Dónde van a parar las órbitas? Punto fijo atractor. Las órbitas se aproximan al punto fijo. 1 < c < 1,5 1.5 < c < c 0 =1,

12 12 f º f 1< c < 1.5 c= < c < c 0

13 13 pto. fijo atractor pto. fijo repulsor c crecientes pto. periódico atractor x x x x = pto fijo o periódico de período 2 repulsor. rayas verticales: punto periódico de período 4 atractor. En c 0 aparece un Conjunto de Cantor y puntos periódicos repulsores de período 2 n para cualquier n natural. x pto. periódico atractor

14 14 Pasemos al caso c=2. x n =1-2x n-1 2 Sea 0 α 1 π/2 tal que (x 1 + 1)/2 = sen 2 α 1 o sea x 1 = 2 sen 2 α Se tiene que x 2 =1-2x 1 2 =1 – 2(2 sen 2 α 1 -1) 2 = 8sen 2 α 1 (1 - sen 2 α 1 ) -1= 8(sen 2 α 1 )(cos 2 α 1 ) -1= 2 sen 2 (2α 1 ) – 1. De esta igualdad, (x 2 + 1)/2 = sen 2 (2α 1 ), o, en general, (x n + 1)/2 = sen 2 (2 n α 1 ). Sensibilidad a las condiciones iniciales (caos). Aparición de puntos periódicos de cualquier período.

15 15 f 3 ; c=2 Hay 8 puntos fijos en la gráfica En general, hay puntos de todos los períodos. ¿Cómo aparecen?

16 16 f 3 c=1.91

17 17 f 3 c= 1.915

18 18 Teorema: para cada valor 0 c 2, o bien: 1.Hay una órbita periódica atractora y la órbita de 0 es atraída a ella. En este caso, existe un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales tales que también tienen órbitas atraídas a la órbita periódica. O bien 2.Hay un Cantor atractor que incluye el punto crítico y su órbita, y que atrae un conjunto abierto y denso de condiciones iniciales. O bien 3. La transformación es expansiva y para un abierto denso de condiciones iniciales las órbitas son atraídas a un conjunto invariante que es unión de intervalos cerrados.

19 19 El resultado anterior parecería un ejercicio sobre el comportamiento de las transformaciones cuadráticas si no fuera que dicho comportamiento fue observado en multitudes de transformaciones unimodales que se examinaron. No sólo se encontraron semejanzas cualitativas, sino también aparecían ciertas constantes universales válidas para conjuntos genéricos de transformaciones; estas características también aparecían en ciertas transformaciones disipativas en dimensión mayor. Se imponía una explicación.

20 20 Ya observamos que hay un intervalo [a 1,b 1 ] en el intervalo [0,2] de variación del parámetro c, en que f c es renormalizable en un intervalo I 1,c :=[a 1c,b 1c ]; para todo x en I 1.c la transformación de primer retorno a I 1.c es f c 2 que se comporta como la familia original, f c. Para comparar ambos comportamientos, habría que cambiar la escala, o renormalizar: llevar el intervalo [a 1c,b 1c ] al intervalo [-1,1]. 1 a 1c b 1c

21 21 Pero lo adecuado es reescalar un intervalo más pequeño: se trabajará en el intervalo [-f c (0),f c (0)] que se reescalará hasta llevarlo al [-1,1], definiendo una función g. Se tiene g 2 (0)=g(1). 1 1 g(1) R(g)=(g(1)) -1 g 2 (g(1)x) g R(g)

22 22 Trabajando en el conjunto M de las funciones unimodales renormalizables C r que llevan [-1,1] en sí mismo tales que -1

23 23 familia cuadrática φ

24 24 Bibliografía An introduction to the dynamical of unimodal maps. C. Sparrow, Summer school on dynamical systems ICTP de Melo, W Lectures on one-dimensional dynamics. IMPA, CNPq, 1988 de Melo, W, van Strien, S One-dimensional dynamics Springer Verlag, Berlin-New York, 1993.


Descargar ppt "1 FAMILIAS MONOPARAMÉTRICAS DE TRANSFORMACIONES CUADRÁTICAS. Heber Enrich."

Presentaciones similares


Anuncios Google