PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

Presentación del tema: "PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS"— Transcripción de la presentación:

1 PRODUCTO CARTESIANO RELACIONES BINARIAS

2 Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x  A ^ y  B }

3 Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

4 Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada }
A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) } Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

5 Producto Cartesiano Representación en forma de Tabla
Ejemplo: A = { , } B = { , , }

6 Producto Cartesiano Representación en forma de Diagrama
Ejemplo: A = { , } B = { , , }

7 Producto Cartesiano Ejemplo: A = { , } B = { , , }

8 Gráfico cartesiano Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa

9 Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x  R  –1 x  1 } B = R

10 Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x  R  2  x < 5 } B = { x / x  R  1 < x  3}

11 Relación entre elementos de conjuntos
Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

12 Relación entre elementos de conjuntos
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

13 3 es el correspondiente de d
Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B 3 es el correspondiente de d b está relacionado con 1

14 Conjuntos de salida y de llegada de un relación
A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

15 Dominio de una relación
Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R  Dom(R) = {b, c, d}

16 Imagen de una relación Im(R) =  y / yB  (x,y) R 

17 Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y)  R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ej: b R 1 porque (b,1)  R

18 Relación definida en un conjunto
Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A

19 Relación definida en un conjunto
Ejemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)  R. Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

20 Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto
Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación Propiedad reflexiva Propiedad simétrica Propiedad asimétrica Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva

21 R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R
Propiedad reflexiva La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

22 Propiedad simétrica La propiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par (y,x) también pertenece a R

23 Propiedad Simétrica Ejemplo
Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

24 Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

25 Propiedad antisimétrica
Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

26 Propiedad antisimétrica
Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

27 x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R
Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

28 Propiedad transitiva Ejemplo
Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

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30 Ejercicio Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}. R2 = {(1, 1)}. R3 = {(1, 2)}. R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

31 Ejercicio Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} Escribir por extensión a R.
R = {(x, y) / xA, yA, | x – y | es divisible por 3} Escribir por extensión a R.

32 Relación de equivalencia
Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

33 Ejemplo de Relación de Equivalencia
Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

34 Ejemplo de Relación de Equivalencia
Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y  H ^ "x es compatriota de y"} Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas. El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias. H/R es una partición de H.

35 Ejercicio ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia? R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona} S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.