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UNIDAD 3 RELACIONES Y FUNCIONES Nociones de Teoría de Conjuntos, Relaciones y Funciones Dr. Daniel Tapia Sánchez.

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1 UNIDAD 3 RELACIONES Y FUNCIONES Nociones de Teoría de Conjuntos, Relaciones y Funciones Dr. Daniel Tapia Sánchez

2 En esta actividad aprenderás a: Definir relación y función, estableciendo las diferencias entre un concepto y otro. Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas. Determinar si una relación es función. Determinar el Dominio y Recorrido de una función.

3 Estos son los temas que estudiaremos: 3.1 Nociones de teoría de conjuntos 3.2 Relaciones 3.3 Funciones Definición Evaluación de funciones Definición Definiciones Producto Cartesiano Dominio y recorrido de una función

4 3.1. Nociones de Conjuntos Definiciones Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, considerados como una sola unidad. Pertenencia (Є) : Si un objeto p es elemento de un conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C. Si p no pertenece a C, se denota: p Є C Conjunto vacío (Ǿ): Es aquel conjunto que no posee elementos. También se denota como: { } Subconjunto ( ): Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.

5 1.2. Producto Cartesiano Dados los conjuntos A y B, su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B : A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B } Ejemplo: Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 }, entonces: A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

6 3.2. Relaciones Una relación de un conjunto A a un conjunto B, es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones Definición: Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a} A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)} R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B entonces:

7 El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2. Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3. (2,4) Є Ró 2 R 4 Notación: ó R (2) = 4 (2,6) Є Ró 2 R 6ó R (2) = 6 (3,6) Є Ró 3 R 6ó R (3) = 6

8 Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos. R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B A B R Conj. de partida. Conj. de llegada Pre-imágenes {2,3}Imágenes {4,6} De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que: 2 es pre-imagen de 4 y de 6, y 4 es imagen de 2

9 3.3. Funciones Una función es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única Definición Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación es función: a b c d e f AB R R NO es función, porque c tiene dos imágenes. R (c)= e R (c)= f

10 2. Determine si la siguiente relación es función: R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única A B R f (3) = 6 f (5) = 6 f (4) = 7 Además: Dominio(f) = ARecorrido(f) = {6,7} AB f

11 Sea f una función, definida en los reales tal que: Evaluación de funciones f(x) = 2x + 3. a) f (1) = Determinar: IR f b) f (3) = c) f (7) = d) f (12) = = = 27 Ejemplo 1: … x … f(x) 2·1 + 3 = 5 2·3 + 3 = 9 2·7 + 3 = 17 2·12 + 3

12 e) Determinar f (4) - 3f (0) f (-1) – 3(20 + 3) 2(-1) + 3 = – 3(3) – 9 = = =

13 Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. f(x) = 2x + 3 es función lineal, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR Dominio y Recorrido

14 Ejemplo 1: Sea f(x) = 2 x-1 ¿es siempre posible calcular este cociente? Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x 1. Luego, Dom(f) = IR – {1} Respuesta: IR f 2 1 … f(x ) 2 3 x 1

15 Ejemplo 2: Dom(f) = [ -2, + ] ¿Por qué? Sea f(x) x + 2 Ejemplo 3: Sea f(x) = x x-3 Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x 3. Luego, Dom(f) = IR – {3} Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x. y = x x-3 y(x – 3)=x yx – 3y=x yx – x=3y x(y – 1)=3y x = 3y y-1 Luego, Rec(f) = IR – {1}

16 Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función. Ejemplo 4: Dom(f) = [-2,5, 5] Rec(f) = [-1,8, 3,2] Dom(f) = IR Rec(f) = {2}

17 Dom(f) = [-2,5, 2,5] Rec(f) = ]-, 4] No es función


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