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Relaciones de equivalencia. Definición Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U. Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia.

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1 Relaciones de equivalencia

2 Definición Sea A un conjunto no vacío en el conjunto Universal U. Una relación binaria R sobre A, es una relación de equivalencia si R satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simétrica R es transitiva Relaciones de equivalencia

3 Ejemplos Relaciones de equivalencia 1)La relación R sobre Z definida por: a R b a – b es múltiplo de 3. 2)Sea k, la relación R sobre Z: a R b a – b es múltiplo de k. 3)Dado un conjunto D U, la relación: A R B A D = B D 4)Sobre los números reales, la relación R: x R y x – y Z 5)La relación R sobre 2 definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b 6)La relación R sobre Z 2 definida por: (m,n) R (p,q) m+q = n+p Una relación de equivalencia identifica los elementos de un conjunto que satisfacen una misma propiedad y los llama elementos equivalentes.

4 Partición de un conjunto Definición: Ejemplos: 1)Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A 1 ={1,3}, A 2 ={4}, A 3 ={2,5}. En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}=. Además {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A Sea A un conjunto no vacío. Sean Diremos que P es una partición de A y escribimos si: y Cada subconjunto A j es una celda de la partición

5 Partición de un conjunto Ejemplos: 2) Sea A = {1, 2, 3, 4} una partición P de A con 2 celdas es P = { {1}, {2,3,4} }, donde A 1 ={1}, A 2 ={2,3,4}. En efecto {2,3.4} {1} = {1} {2,3,4} = {1, 2, 3, 4} = A

6 Ejercicios Ejercicio 1: Determine todas las particiones posibles para el conjunto A = {1, 2, 3} Ejercicio 2: Determine el número de particiones distintas para el conjunto A = {1, 2, 3, 4} con exactamente dos celdas. Para pensar: Cuente todas las particiones distintas del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.

7 Clase de equivalencia Definición: Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío. Sea a A, llamaremos clase de equivalencia de a y la escribiremos por [a] al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a, es decir [a] = { x A / x R a } Ejemplo: La relación R sobre Z : a R b a – b es múltiplo de 2. Hay dos clases de equivalencia distintas, la del 0 y la del 1: [0] = { 0, ±2, ±4, ±4,… } y [1] = { ±1, ±3, ±5,… }

8 Ejercicios Ejercicio 3: En el conjunto A = {1, 2, 3, 4} se define la siguiente relación R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)} Determine [1], [2] y [4]

9 Clase de equivalencia Definición: Sea R una relación de equivalencia en A. El conjunto de las clases de equivalencia se llama conjunto cociente de A por R. El conjunto cociente es una partición de A En efecto, Las clases de equivalencia son disjuntas dos a dos. La unión de todas las celdas coincide con el conjunto A.

10 Clase de equivalencia Demostración: 1) Sean x, y A [x]= [y] [x] [y] = i) Si x R y [x]= [y]; sea z [x] z R x x R y z R y (transitividad) z [y], de donde [x] [y]. Razonando de manera similar se prueba que [y] [x]. Por lo tanto, [x] = [y]. ii) Si (x,y) R entonces [x] [y] =. En efecto, si existiera z [x] [y] entonces z R x z R y por lo tanto, x R y, lo cual es un absurdo.

11 Clase de equivalencia Demostración: 2) Veamos que En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x] Por otro lado, sea z tal que

12 Clase de equivalencia Toda relación de equivalencia sobre A genera una partición en A. Toda partición sobre el conjunto A, genera una relación de equivalencia

13 Ejercicios Ejercicio 5: Definimos en Z, la relación R: x R y x 2 – y 2 = x – y Encuentre las clases de equivalencia de algunos números, por ejemplo 0, 5 y 8 En 2, la relación R definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b Determine las clases de equivalencia y dibújelas en el plano Ejercicio 6:

14 Soluciones Solución 1: Como A tiene 3 elementos solo podemos tener particiones con 3 celdas, 2 celdas y 1 celda, es decir, como A =3, el número 3 puede escribirse como 3 = 3 (partición con una celda de 3 elementos). Hay 1 3=2+1 (partición con dos celdas de 1 y 2 elementos). Hay 3=1+1+1 (partición con tres celdas de 1 elemento). Hay 1 Hay 5 particiones de distintas de A P 1 ={ {1, 2, 3}} P 2 = {{1, 2}, {3}}, P 3 = {{1, 3}, {2}}, P 4 = {{2, 3}, {1}} P 5 = {{1}, {2}, {3}}


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