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UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS Potencias y raíces Dr. Daniel Tapia Sánchez.

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1 UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS Potencias y raíces Dr. Daniel Tapia Sánchez

2 En esta actividad aprenderás a: Reconocer la definición de potencia de base entera y de exponente entero. Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional. Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.

3 1.6 Potenciación 1.6.1 Definición 1.6.2 Propiedades 1.6.3 Potencias de base 10 1.6.4 Signos de una potencia 1.7 Raíces 1.7.1 Definición 1.7.2 Propiedades 1.7.3 Racionalización Estos son los temas que estudiaremos:

4 1.6.1 Definición Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama base y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama exponente. 1.6. Potenciación a n =a a a a …a a n veces Ejemplo: 7 3 =7 7 7 = (-6) 2 =(-6) (-6)= 36 343

5 -3 2 = (-3) 2 ya que: -3 2 = - 3 3 = -9 y (-3) 2 = (-3)·(-3) = 9 = 2 3 3 2 3 3 ya que: y = 2 3 3 = 2 2 2 3 8 3 2 3 3 == 8 27 2 3 2 3 2 3

6 1.6.2 Propiedades Multiplicación de Potencias: De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes. a n+m a n a m = Ejemplo: 5 x+3x 5 x 5 3x == 5 4x Libro, página 38

7 De igual exponente: Se multiplican las bases, conservando el exponente. (a b) n a n b n = Ejemplo: 8 5 4 2 22 =22 = 8 5 (4 2) 2 = 8 5 82 =82 = 8787

8 División de Potencias: De igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes. a n-m an :an : a m = Ejemplo: 9 23 9696 = = 9 17 9 23-6 Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de EJERCICIOS P.S.U., libro, página 49.

9 De igual exponente: Se dividen las bases y se conserva el exponente. (a : b) n an :an : b n = Ejemplo: 75 :75 : 4242 28 2 = 7 5 : (28:4) 2 =75 :75 : 72 =72 = 7373

10 Potencia de Potencia: Se multiplican los exponentes. (a n ) m =a m n Ejemplo: (2 10 ) 4 =2 10 4 = 2 40

11 Potencia de Exponente Negativo: Se invierte la base y se eleva al exponente positivo. Potencia de exponente negativo y base entera: 1 a -n = a n (Con a, distinto de cero) Ejemplo: 5 -2 15 3 2 = (5) 2 5 2 1 = 25 1 25 = 1

12 3 3 = 4 3 Potencia de exponente negativo y base fraccionaria: a b -n = b a n (Con a, distinto de cero y b distinto de cero) Ejemplo: 3 4 -3 = 3 4 3 = 64 27

13 Potencias de exponente cero: a 0 = 1 (para todo a, distinto de cero) 0 0 : indefinido Ejemplo: x 3 - 4y 7 – (15-8) = x 3 - 4y 0 = 1

14 1.6.3 Potencias de base 10 Con exponente positivo: Libro, página 41 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000… Ejemplo: 54.000.000 = 54 1.000.000 = 54 10 6 10 0 = 1

15 4 10 -5 Con exponente negativo: Ejemplo: 10 = 1 0,1 100 = 1 0,01 10 -3 = 1 1.000 = 0,001… 10 -1 = 10 -2 = 0,00004 = 4 100.000 =

16 1.6.4 Signos de una potencia Potencias con exponente par: Las potencias con exponente par, son siempre positivas. Ejemplo: (-11) (-11) = 121 2) -3 5 4 = 81 625 5 (-3) 4 4 = 1) (-11) 2 =

17 Potencias con exponente impar: En Las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base. Ejemplo: 1) (-12) 3 = (-12) (-12) (-12) =-1.728 2) -2 3 -5 = 3 -2 5 = (3) 5 (-2) = 5 243 -32 = 243 32 -

18 3 16 1 3 4 -2 = 2) xx b a = a b 64 5 Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario. 1.7.Raíces (Con b, distinto de cero) Ejemplos: 1.7.1 Definición = 3 4 2 = 4 2 3 8 5 2 =1) 8 5 = 2

19 9 3= 3 1.7.2 Propiedades Multiplicación de raíces de igual índice: Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. n b n = a b a n Ejemplo: 9 3 3 3 = 3= 3 27

20 512:2 4 = División de raíces de igual índice: Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes subradicales conservando el índice que tienen en común. Ejemplo: a:ba:b n a n b n =: 4 512 4 : 2= 256 = 4 4

21 4 162 Composición y Descomposición de raíces: Composición: Se utiliza para ingresar un factor a una raíz. ab=a b n n n Ejemplo: 23= 4 3 2 4 = 44 81 2 =

22 Descomposición: Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta. Ejemplo: 162=81 2 =29 812 =

23 Raíz de Raíz: a = m a n mn 2 = 54 2 54 = 2 20 Ejemplo:

24 1.7.3 Racionalización Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso se le llama racionalización. Ejemplos: 1) Racionalizar 4 3 = 3 3 3 4 =? ( ) 2 4 3 3 = 4 3 3

25 = 3 - 2 3 4 + 2 3 - 2 2) Racionalizar = 5 5 3 4 3 3 3 3 2 5 3 3 4 = 5 3 5 5 4 3 27 5 4 52 3 = ? 3) Racionalizar 3 4 = ? + 2 4( - 23) 3 - 2 = 4( - 23 ) 1


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