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PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS Prof. Antonio Syers Calculo IV (Ing)

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Presentación del tema: "PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS Prof. Antonio Syers Calculo IV (Ing)"— Transcripción de la presentación:

1 PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS Prof. Antonio Syers Calculo IV (Ing)

2 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Definiciones Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados de la forma (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. C a b I (f(a),g(a)) (f(b),g(b)) x y

3 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Definiciones Definición: Sea C Una curva que consiste en todos los pares ordenados (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. Las ecuaciones Para t en I, se denominan ecuaciones paramétricas de C con parámetro t Veamos algnos ejemplos que puedan ilustrar estas definiciones

4 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Círculo P(x,y) a y x Ejemplo: Hallar las ecuaciones parámetrica del círculo de radio a

5 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Elipse Calculemos ahora las ecuaciones paramétricas de la elipse Solución: De la gráfica tenemos que

6 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Elipse P(x,y) a b O MN Q

7 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) 1. La Cicloide Fije un punto P sobre la circunferencia de un círculo y déjelo rodar, sin resbalar, a través de una recta. Suponga que P está en el origen cuando el centro C está sobre el eje Y. La trayectoria descrita por el punto P se denomina Cicloide. La Cicloide

8 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) r cicloide... Veamos ahora la curva de manera continua

9 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) C N P(x, y) r cicloide... Calculemos las ecuaciones paramétricas de la curva OLA

10 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) cicloide... De la gráfica se tiene que Pero, Por otra parte Así, De una manera análoga, Pero, Por lo tanto,

11 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) 2. Epicicloide. Si un punto P es fijo sobre una circunferencia y esta circunferencia está rodando, sin resbalar, sobre otra circunferencia, la trayectoria descrita por el punto P se denomina Epicicloide La Epicicloide

12 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) O X Y Epicicloide... Pasemos ahora a calcular sus ecuaciones.

13 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Epicicloide... C R C r N LMO N r X Y Note que = - - P(x, y) A D

14 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Epicicloide... De la figura : Pero,y además esto implica que Por otra parte, el arco AD = arco AP, por lo tanto arco AD = R, arco AP =r. Así, R = r, lo que equivale a Sustituyendo esto en x, resulta

15 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Epicicloide... Análogamente,, pero de esta manera obtenemos:

16 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) 3. La Involuta. Considere una cuerda enrollada en la circunferencia de un círculo. Supóngase que el extremo final de la cuerda está en el punto L, como lo muestra la figura. Sujete este extremo de la cuerda u manténgalo tenso (tangente a la circunferencia) el punto final de la cuerda traza una curva llamada Involuta de círculo. La Involuta

17 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) O X Y Involuta...

18 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Involuta... Veamos ahora cual es la gráfica de manera continua, para luego calcular las ecuaciones de la curva. Q ELB P(x,y) R A OX Y

19 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) Involuta... De la figura tenemos que como Además Así, Vamos a calcular la ecuación de y, sustituyendo el valor de AP, tenemos

20 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) 4. La Bruja o curva de Agnesi. Dada la circunferencia, y su recta tangente y = 2a, se obtiene un punto P de la siguiente manera: Se elige un punto B de la circunferencia y se prolonga la cuerda OB hasta cortar a la recta y = 2a en el punto A. Tomemos el punto que tiene la abscisa de A y la ordenada de B. El conjunto de todos estos puntos se denomina Bruja o curva de Agnesi. La Bruja

21 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) La Bruja... (0,a) a O

22 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) La Bruja...

23 Prof. A. Syers Cálculo IV (Ing) La Bruja... Calculemos las ecuaciones de la curva Por la gráfica podemos deducir que Por otra parte, como entonces


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