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UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE.

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1 UNLA Organización de Computadoras (2014) ALGEBRA DE BOOLE

2 Indice 1. Reseña Histórica 2. Algebra de Boole 3. Postulados 4. Teoremas 5. Ejercicios

3 1. Reseña Histórica Algebra de Boole En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitos maseconómicos.Lasexpresionesbooleanasseránuna representación de la función que realiza un circuito digital. En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas ( AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias).

4 2.3 Definiciones Literal: se refiere a una variable o a su complemento (por ej. A, X, X) Término producto: es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un AND (por ej.A·B, C·A, X ·Y·Z ) Término suma:es un grupo de literales que se encuentran relacionados entre si por un OR (por ej. A+B, C+A, X +Y+Z ) Término normal: termino producto o termino suma en el que un literal no aparece mas de una vez

5 Término canónico: termino en el que se encuentra exactamente uno de cada uno de los literales de la función.Si el termino canónico es un producto, se denominará mintérmino. Si es una suma se denominará maxtérmino. Forma normal de una función: es la que está constituida por términos normales. Puede estar en la forma suma de términos productos o productos de términos sumas. Forma canónica de una función: es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos que aparecen una sola vez. 2.3 Definiciones

6 2.4 Forma Canónica La importancia de la forma canónica,es el hecho de ser UNICA. Como vimos anteriormente una función puede tener infinidad de representaciones, pero solo una representación en forma canónica. Existen dos formas canónicas de una función: Suma de Productos o Producto de Sumas. (También de una manera mas formal Suma de mintérminos o Producto de maxtérminos) Para obtener algebraicamente la forma canónica de una función podemos utilizar los teoremas de expansión canónica:

7 2.4 Forma Canónica suma de Productos Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicos productos (mintérminos) sumados que aparecen una sola vez. Por ejemplo: F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + XYZ + X Y Z+ XYZ Acada mintermino se le asocia un numero binario de n bits resultante de considerar como 0 las variables complementadas y como 1 las variables no complementadas.Así por ejemplo el mintermino X Y Z corresponde a combinación X=0, Y=0, Z=1 que representa el numero binario 001, cuyo valor decimal es 1.Aeste mintermino lo identificaremos entonces como m1.

8 2.4 Forma Canónica suma de Productos De esta forma, la función : F(X,Y,Z) = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + XYZ Se puede expresar como: F(X,Y,Z) = m(1, 4,5,6,7) que quiere decir la sumatoria de los mintérminos 1,4,5,6,7.

9 2.4 Forma Canónica producto de sumas Esaquellaconstituidaexclusivamenteportérminos canónicos sumas (maxtérminos) multiplicados que aparecen una sola vez. Por ejemplo: F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z) Análogamente al caso anterior, podemos simplificar la expresión de la función, indicando los maxtérminos. Sin embargo, en este caso se hace al contrario de antes. A cada maxtermino se le asocia un numero binario de n bits resultantedeconsiderarcomo1lasvariables complementadas y como 0 las variables no complementadas.

10 2.4 Forma Canónica producto de sumas Así por ejemplo el maxtermino X + Y + Z corresponde a combinación X=1, Y=0, Z=0 que representa el numero binario 100, cuyo valor decimal es 4.Aeste maxtermino lo identificaremos entonces como M4. De esta forma, la función: F(X,Y,Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z) (X + Y + Z) se puede expresar como: F(X,Y,Z) = M(0,2,3) que quiere decir el producto de los maxterminos 0,2,3

11 2.4 Forma Canónica Teorema 1: Para obtener la forma canónica de una función suma de productos se multiplicará por un termino de la forma (X + X ) donde falte un literal para que el termino sea canónico. Teorema 2: Para obtener la forma canónica de una función producto de sumas se sumará un termino de la forma X · X donde falte un literal para que el termino sea canónico.

12 Otra manera importante de expresar expresiones booleanas es la forma normal. Tiene la misma estructura básica suma de productos o producto de sumas, pero no se requiere que los términos sean minterminos o maxterminos. Por ejemplo: La siguiente es una forma normal para suma de productos: XY + X Y Z La siguiente es una forma normal para producto de sumas: (Y+X)(X + Z)Y Nota: En general la forma más utilizada es: la suma de productos 2.4 Forma Normal de Funciones Booleanas

13 Algebra de Conmutación Función de Conmutación Tablas de Verdad Formas Canónicas Minterminos y Maxterminos Mapas de Karnaugh

14 Función de Conmutación Una función de conmutación se puede expresar de tres maneras: –––––– En forma Algebraica Por una Tabla de Verdad En forma Canónica

15 Tablas de Verdad La forma más intuitiva de representar una función de conmutación es por medio de una tabla de verdad. La tabla de verdad expresa el valor de salida de una función para cada combinación de entrada. La tabla de Verdad permite modelar un tipo especial de sistema Digital llamado Sistema Combinacional.

16 Ejemplo de Tablas de Verdad Forma Algebraica: F (X 1, X 2, X 3 )= X 1 X 2 + X 2 X 3

17 X1X2X3f Ejemplo de Tablas de Verdad Tabla de Verdad

18 Formas Canónicas Se llama termino canónico de una función de conmutación a todo termino en que figuran todas las variables de la función, ya sea complementadas o sin complementar.

19 X 1 X 2 X 3 X1X2X3f Formas Canónicas Problema: DadaunaTablade Verdad, obtener la forma algebraica X 1 X 2 X 3

20 F (X 1, X 2, X 3 )= X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1. La variable aparece sin complementar: si vale 1 para la combinación en la cual la salida vale 1 y aparece complementada si vale 0 para la combinación en la cual la salida toma el valor 1. F (X 1, X 2, X 3 )= X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 + X 1 X 2 X 3 Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 1. La variable aparece sin complementar: si vale 1 para la combinación en la cual la salida vale 1 y aparece complementada si vale 0 para la combinación en la cual la salida toma el valor 1. Laforma Algebraica queda: Formas Canónicas

21 Formas Canónicas: Mintérminos Se denomina mintérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el AND de todas las variables. Una función de conmutación corresponde al OR de mintérminos. La función generada de esta manera se denomina OR canónica de AND. F (X 1, X 2, X 3 )= OR (m 0,m 1,..,m n ) F (X 1, X 2, X 3 )= (m 0,m 1,..,m n )

22 Para el ejemplo anterior: F (X 1, X 2, X 3 )= OR (1,3,5,6) F (X 1, X 2, X 3 )= (1,3,5,6) Formas Canónicas: Mintérminos

23 X1X2X3f (X 1 + X 2 + X 3 ) Una forma alternativa de expresar la función es examinándo las combinaciones en las cuales vale 0 Formas Canónicas: Maxtérminos (X 1 + X 2 + X 3 )

24 La función queda ahora: F (X 1, X 2, X 3 )= (X 1 + X 2 + X 3 ) (X 1 + X 2 + X 3 ) (X 1 + X 2 + X 3 ) Para convertir se observa la combinación de entrada para la cual la salida toma el valor 0. La variable aparece sin complementar si vale 0 para la combinación en la cual la salida vale 0 y Formas Canónicas: Maxtérminos aparececomplementadasivale1parala combinación en la cual la salida toma el valor 0.

25 Se denomina maxtérmino a un factor de una expresión booleana que está formado por el OR de todas las variables. Una función de conmutación corresponde al AND de maxtérminos. La función generada de esta manera se denomina AND canónica de OR. F (X 1, X 2, X 3 )= AND (M 0,M 1,..,M n ) F (X 1, X 2, X 3 )= (M 0,M 1,..,M n ) Formas Canónicas: Maxtérminos

26 Para el ejemplo anterior: F (X 1, X 2, X 3 )= AND (0,2,4,7) F (X 1, X 2, X 3 )= (0,2,4,7) Formas Canónicas: Maxtérminos

27 Dada una función en su forma algebraica, obtener la forma canónica: F (A,B,C,D)= A C + A B C + A B C D = A C (B+B) (D+D) + A B C (D+D) + ABCD = ABC (D+D) + ABC (D+D) + ABCD + ABCD + ABCD F (A,B,C,D)= (7,8,9,10,11,12,13) Dada una función en su forma algebraica, obtener la forma canónica: F (A,B,C,D)= A C + A B C + A B C D = A C (B+B) (D+D) + A B C (D+D) + ABCD = ABC (D+D) + ABC (D+D) + ABCD + ABCD + ABCD F (A,B,C,D)= (7,8,9,10,11,12,13) Obtención de Formas Canónicas

28 Dada una función en OR canónico de AND, obtener la forma canónica AND canónico de OR. F (A,B,C)= (0,1,2,7) F (A,B,C)= (3,4,5,6)= ABC + ABC + ABC + ABC F (A,B,C)= (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) F (A,B,C)= (3,4,5,6) Conversión entre Formas Canónicas

29 Funciones Equivalentes Dos funciones de conmutación son equivalentes cuando sus expansiones en formas canónicas son idénticas, es decir tienen el mismo valor de salida para las mismas combinaciones de entradas. Una forma similar de expresar lo mismo es que dos funciones de conmutación son equivalentes cuando tienen la misma Tabla de Verdad.

30 Minimización de Funciones Minimizar una función de conmutación F (X 1, X 2,.., X n ) es encontrar una función G (X 1, X 2,.., X n ) equivalente a F y que contenga el mínimo número de términos y literales en una expresión OR de AND.

31 Ejemplo: F(A,B,C,D)= ACD + ACD + ACD + ACD +ABD = (A+A)CD + (A+A)CD + ABD = CD + CD + ABD = (C+C)D + ABD = (D+D)AB = A B Minimización de Funciones

32 Mapas de Karnaugh El mapa de Karnaugh es un arreglo matricial de todas las posibles combinaciones que pueden asumir un grupo de variables. Los mapas de Karnaugh son formas modificadas de Tablas de Verdad que permiten minimizar funciones

33 Mapas de Karnaugh Los mapas de Karnaugh permiten un diseño rápidodecircuitoscombinacionalesde mínimo costo, es decir, con el mínimo número de compuertas.

34 m0m0 m1m1 m3m3 m2m2 m4m4 m5m5 m7m7 m6m6 m0m0 m1m1 m2m2 m3m3 Y X Construcción de Mapas de Karnaugh Para construir un Mapa de Karnaugh se siguen los siguientes pasos: Para una función de n variables, el MK tiene 2 n celdas. En las coordenadas se anotan las combinaciones 1 según código de Grey X YZ n=2 n=3

35 m0m0 m1m1 m3m3 m2m2 m4m4 m5m5 m7m7 m6m6 m 12 m 13 m 15 m 14 m8m8 m9m9 m 11 m 10 Construcción de Mapas de Karnaugh AB CD n=4

36 AB CD Construcción de: Mapas de Karnaugh Cada combinación de unos y ceros de una celda se le asigna el equivalente decimal de la representación binaria.

37 Ejemplo, encontrar el mapa de la función: F (A,B,C,D)= (0,1,5,6,9,13,15) Construcción de: Mapas de Karnaugh AB CD

38 Construcción de: Mapas de Karnaugh Dos celdas son adyacentes si difieren en una variable.

39 Construcción de Mapas de Karnaugh Un subcubo es un conjunto de 2 m celdas con valor 1, las cuales tienen la propiedad que cada celda es adyacente a m celdas del conjunto.

40 AB CD Construcción de: Mapas de Karnaugh Subcubo Tamaño 4 Subcubo Tamaño 4 Subcubo Tamaño 8

41 Minimización Un subcubo se puede expresar por un términoalgebraicoquecontienen-m literales donde n es el número de variables y 2 m es el tamaño del subcubo.

42 AB CD BD A Minimización AB

43 Minimización Una función se puede expresar como la suma de los subcubos necesarios para cubrir todos los unos del M.K. Para que una función sea mínima, hay que buscar el mínimo número de subcubos, o sea, cada subcubo debe ser del mayor tamaño posible. El método de M.K. es un método manual. En términos prácticos sirve para minimizar funciones de hasta 6 variables.

44 AB CD Minimización AB BD C 10 F(A,B,C,D) A B B D A

45 Minimización En resumen: –––––––– 1 celda representa un mintérmino 2 celdas adyacentes representan un término de 3 variables. 4 celdas adyacentes representan un término de 2 variables. 8 celdas adyacentes representan un término de 1 variables.

46 Construcción de MK: AND de OR Una función se puede expresar también como el producto (AND) de los subcubos necesarios para cubrir todos los ceros del MK. Ejemplo : Minimizar F(A,B,C,D) (0,2,5,8,10,13,14)

47 F(A,B,C,D) (B D) (B C D) (A C D) Construcción de MK: AND de OR Para minimizar se agrupan ceros del mapa: AB CD

48 Fin

49 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 59 Las variables Booleanas sólo toman los valores binarios: ó 0. Una variable Booleana representa un bit que quiere decir: Binary digIT

50 xyx+y Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Operación OR: 60

51 xyx+y Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Operación OR: Si una de las entradas es 1, entonces la salida es 1 61

52 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Compuerta OR: x x + y y 62

53 xyxy Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Operación AND: 63

54 xyxy Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 64 Operación AND: Si una de las entradas es 0, entonces la salida es 0

55 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Compuerta AND: x xy y 65

56 xx Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 66 Operación NOT:

57 xx Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Operación NOT: La salida es la negación de la entrada 67

58 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Compuerta NOT: x x 68

59 Fundamentos de Electrónica Präsentat ion Álgebra Booleana [ Sistemas Digitales ] Ejercicio: Encontrar w=xy + yz para todas las combinaciones. C. Baier69

60 xyzxyyzw Fundamentos de Electrónica Präsentat ion Álgebra Booleana [ Sistemas Digitales ] Ejercicio: ( Tabla verdad ) Encontrar w=xy +yz para todas las combinaciones. 70

61 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Postulados de Identidad: 0+ x = ? 1 × x = ? 71

62 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Postulados de Identidad: 0+ x = x 1 × x =? 72

63 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Postulados de Identidad: 0+ x = x 1 × x = x 73

64 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Propiedad conmutativa: x + y xy = ? 74

65 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Propiedad conmutativa: x + y xy = y + x = ? 75

66 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Propiedad conmutativa: x + y xy = y + x = yx 76

67 Fundamentos de Electrónica [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana Axiomas de complemento: x x = ? x + x = ? 77

68 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 78 Axiomas de complemento: x x =0 x + x =?

69 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 79 Axiomas de complemento: x x =0 x + x =1

70 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 80 Teorema de idempotencia: xx = ? x + x = ?

71 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 81 Teorema de idempotencia: xx = x x + x =?

72 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 82 Teorema de idempotencia: xx = x x + x = x

73 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 83 Teorema de elementos dominantes: x × 0 =? x + 1 = ?

74 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 84 Teorema de elementos dominantes: x × 0 =0 x + 1 = ?

75 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 85 Teorema de elementos dominantes: x × 0 =0 x + 1 = 1

76 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 86 Propiedad distributiva: x ( y + z ) =? x +( yz ) = ?

77 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 87 Propiedad distributiva: x ( y + z ) = xy + xz x +( yz ) = ?

78 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 88 Propiedad distributiva: x ( y + z ) = xy + xz x +( yz ) = ( x+y )( x + z )

79 Arquitectura de Computadores Präsentat ion Álgebra Booleana 89 [ Sistemas Digitales ] Ley involutiva: ( x )= ?

80 Arquitectura de Computadores Präsentat ion Álgebra Booleana 90 [ Sistemas Digitales ] Ley involutiva: ( x )= x

81 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 91 Teorema de absorción: x +xy= ? x ( x + y ) = ?

82 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 92 Teorema de absorción: x +xy= x x ( x + y ) = ?

83 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 93 Teorema de absorción: x +xy= x x ( x + y ) = x

84 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 94 Teorema del consenso: x +xy= ? x ( x + y ) = ?

85 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 95 Teorema del consenso: x +xy= x + y x ( x + y ) =?

86 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana D.Mery96 Teorema del consenso: x +xy= x + y x ( x + y ) = xy

87 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana D.Mery97 Teorema asociativo: x + ( y + z )= ? x ( yz )= ?

88 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 98 Teorema asociativo: x + ( y + z )= ( x + y )+ z x ( yz )= ?

89 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Álgebra Booleana 99 Teorema asociativo: x + ( y + z )= ( x + y )+ z x ( yz )= ( x y) z= ( x y) z

90 Arquitectura de Computadores Präsentat ion Álgebra Booleana 100 [ Sistemas Digitales ] Leyes de Morgan: ( x + y )= ? ( xy )= ?

91 Arquitectura de Computadores Präsentat ion Álgebra Booleana 101 [ Sistemas Digitales ] Leyes de Morgan: ( x + y )= x y ( xy )= ?

92 Arquitectura de Computadores Präsentat ion Álgebra Booleana 102 [ Sistemas Digitales ] Leyes de Morgan: ( x + y )= xy ( xy )= x + y

93 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 103 Un circuito combinacional es aquel cuya salida depende sólo de las entradas. Es decir: No depende de la salida No depende del tiempo

94 xyxy Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 104 Compuerta AND: x xy y TABLA DE VERDAD

95 xyxy Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 105 Compuerta NAND: x xy y TABLA DE VERDAD

96 xyx+yx+y Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 106 Compuerta OR: x x +y y TABLA DE VERDAD

97 xyx+yx+y Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 107 Compuerta NOR: x x +y y TABLA DE VERDAD

98 xyx+yx+y Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 108 Compuerta XOR (OR exclusivo): x x +y y TABLA DE VERDAD

99 xyx+yx+y Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion Circuitos combinacionales 109 Compuerta XNOR (NOR exclusivo): x x +y y TABLA DE VERDAD

100 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion 110 Ejercicio: Diseñe el circuito combinacional que realice la función w=xy +yz. Circuitos combinacionales

101 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion 111 Circuitos combinacionales Ejercicio: Diseñe el circuito combinacional que realice la función w=xy +yz. x y w z

102 Arquitectura de Computadores Präsentat ion 112 [ Sistemas Digitales ] Primera Ley de Morgan: Circuitos combinacionales ( x + y )= x y x y x + y = x y

103 Arquitectura de Computadores Präsentat ion 113 [ Sistemas Digitales ] Primera Ley de Morgan: Circuitos combinacionales ( x + y )= x y = xy x y xy

104 Arquitectura de Computadores Präsentat ion D.Mery114 [ Sistemas Digitales ] Segunda Ley de Morgan: ( xy )= x + y Circuitos combinacionales x xy = x+y y

105 Arquitectura de Computadores Präsentat ion 115 [ Sistemas Digitales ] Segunda Ley de Morgan: ( xy )= x + y Circuitos combinacionales x x+y y

106 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion 116 Ejercicio: Diseñe el circuito combinacional que realice la función w = x y + y z usando sólo compuertas NAND de dos entradas. Circuitos combinacionales

107 Arquitectura de Computadores [ Sistemas Digitales ] Präsentat ion D.Mery117 Circuitos combinacionales Ejercicio: Diseñe el circuito combinacional que realice la función w = x y + y z usando sólo compurtas NAND de dos entradas. x y w z

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110 EJERCICIO

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