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T EMA 0. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA. 1. M AGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES MAGNITUD ESCALAR: DEFINIDA POR NÚMERO Y UNIDAD MASA, TIEMPO, VOLUMEN, ENERGÍA,

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1 T EMA 0. FUNDAMENTOS DE MECÁNICA

2 1. M AGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES MAGNITUD ESCALAR: DEFINIDA POR NÚMERO Y UNIDAD MASA, TIEMPO, VOLUMEN, ENERGÍA, … (4 kg, 67 s, 5 L, 900 J) MAGNITUD VECTORIAL: DEFINIDA POR VECTORES MÓDULO: Longitud del vector DIRECCIÓN: Recta sobre la que se apoya el vector SENTIDO: Hacia donde señala la flecha PUNTO DE APLICACIÓN: Origen de la flecha

3 OPERACIONES CON VECTORES SUMA: se suman las componentes x, y y z por separado. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

4 OPERACIONES CON VECTORES RESTA: se restan las componentes x, y y z por separado. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk El vector resultante es R = A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k

5 OPERACIONES CON VECTORES OPUESTO: El opuesto a un vector A es otro vector (-A) de igual módulo y dirección y de sentido opuesto A = Axi + Ayj + Azk (-A)= (-Ax)i + (-Ay)j + (-Az)k PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: n·(A)= n(Ax)i + n(Ay)j + n(Az)k

6 C OMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR TODO VECTOR A ES SUMA DE SUS COMPONENTES. CASO MÁS IMPORTANTE: LAS COMPONENTES SON PERPENDICULARES FORMANDO UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS x, y y z A = Axi + Ayj + Azk CUALQUIER VECTOR DEL ESPACIO EN COORDENADAS CARTESIANAS PUEDE ESCRIBIRSE COMO COMBINACIÓN LINEAL DE LOS VECTORES UNITARIOS i, j Y k.

7 C OMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR

8 M ÓDULO DE UN VECTOR A = Axi + Ayj + Azk VECTOR UNITARIO SU MÓDULO ES LA UNIDAD: COMPONENETES CARTESIANAS DE UN VECTOR UNITARIO:

9 2. PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO DEL MÓDULO DE UN VECTOR POR LA PROYECCIÓN DEL OTRO SOBRE ÉL SE DEFINE COMO PRODUCTO DE LOS MÓDULOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO MENOR QUE FORMAN SUS DIRECCIONES

10 2. PRODUCTO ESCALAR ES CONMUTATIVO: PODEMOS EXPRESARLO EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS CARTESIANAS: ya que se cumple que PRODUCTO ESCALAR DE UN VECTOR CONSIGO MISMO: PERMITE CALCULAR EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES A PARTIR DE SUS COORDENADAS CARTESIANAS:

11 P ROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO ESCALAR

12 PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO DE DOS VECTORES CUYO RESULTADO ES OTRO VECTOR CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: SU MÓDULO ES EL PRODUCTO DE LOS DOS MÓDULOS POR EL SENO DEL ÁNGULO QUE FORMAN SU DIRECCIÓN ES PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR LOS DOS VECTORES SU SENTIDO DE AVANCE ES EL DE UN SACACORCHOS QUE GIRE DE p A q POR EL CAMINO MÁS CORTO

13 3. PRODUCTO VECTORIAL

14 P ROPIEDADES DEDUCIDAS DEL PRODUCTO VECTORIAL

15 P RODUCTO VECTORIAL EN COORDENADAS CARTESIANAS

16 Ejemplo El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo: Expandiendo el determinante: Puede verificarse fácilmente que es perpendicular a los vectores a y b efectuando el producto escalar y comprobando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores )

17 M AGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA SOBRE UN PUNTO P M = r x F MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA DE MASA m QUE SE MUEVE CON VELOCIDAD v : L 0 = r x mv = r x p DONDE r ES EL VECTOR POSICIÓN QUE VA DESDE EL ORIGEN HASTA EL COMIENZO DEL OTRO VECTOR

18 M AGNITUDES QUE SE OBTIENEN MEDIANTE EL PRODUCTO VECTORIAL

19 4. CÁLCULO DIFERENCIAL observando que VELOCIDAD MEDIA:VELOCIDAD INSTANTÁNEA: CONCEPTO DE DERIVADA: Desarrollado por Leibniz y Newton DEFINICIÓN: La derivada de una función y respecto de la variable x es el límite de esta razón cuando x 0. Se representa como y,f(x) o dy/dx ¡¡¡DAR TABLA DE DERIVADAS!!!

20 I NTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: y = f(x). A cada valor de x le corresponde un valor de y = f(x), que se asocia al punto P (x,y). Al aumentar la variable x en x, la función también se ve incrementada en y+ y=f(x+ x). A estos nuevos valores les corresponde en la curva el punto B (x+ x, y+ y) Concepto de derivada 01[1].mp4

21 EJERCICIOS LLEGADOS A ESTE PUNTO SE PUEDEN HACER LOS EJERCICIOS DEL 1 AL 4 DEL TEMA 0

22 5. CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL CINEMÁTICA DESCRIBE EL MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS SIN BUSCAR SU ORIGEN CONCEPTO DEL SISTEMA DE REFERENCIA: LA FÍSICA MODERNA NO ACEPTA EL ESPACIO Y TIEMPO ABSOLUTOS TODOS LOS MOVIMIENTOS SON RELATIVOS. ASÍ, PARA DESCRIBIR UN MOVIMIENTO, NECESITO UN SISTEMA DE REFERENCIA, QUE SUELE SER UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS EN CUYO ORIGEN ESTÁ EL OBSERVADOR

23 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 1. TRAYECTORIA: Línea formada por las sucesivas posiciones de un móvil. Tipos de movimiento: 1. RECTILÍNEO TRAYECTORIA = LÍNEA RECTA 2. CURVILÍNEO TRAYECTORIA = CURVA (CIRCULARES, PARABÓLICOS, ELÍPTICOS,…) ECUACIONES PARAMÉTRICAS: Relaciones matemáticas que relacionan las coordenadas espaciales con el tiempo x = x(t); y = y(t); z = z(t)

24 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 2. VECTOR POSICIÓN: Vector cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas y cuyo extremo es la posición del móvil en cada instante r= OP = x i + y j + z k r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k La distancia al origen de coordenadas es el módulo de este vector: OP = r = r=

25 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 3. VECTOR DESPLAZAMIENTO: Es la diferencia entre dos vectores posición r= P 1 P 2 = r 2 – r 1 = (x 2 -x 1 )i + (y 2 –y 1 )j + (z 2 -z 1 )k El desplazamiento espacial es el módulo del vector r P 1 P 2 =

26 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 4. ESPACIO RECORRIDO: LONGITUD DEL TRAMO DE TRAYECTORIA DESCRITO EN UN TIEMPO DETERMINADO. NO SUELE COINCIDIR CON EL DESPLAZAMIENTO ESPACIAL (QUE ES UN SEGMENTO RECTO) A NO SER QUE TENGAMOS UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE SENTIDO CONSTANTE s = s(t) s = s 2 – s 1

27 MAGNITUDES CINEMÁTICAS ESPACIO RECORRIDO (--) vS VECTOR DESPLAZAMIENTO (--) VECTOR POSICIÓN

28 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 5. VELOCIDAD: MIDE EL RITMO TEMPORAL AL QUE SE PRODUCEN LOS CAMBIOS DE POSICIÓN. AL DERIVAR EL VECTOR POSICIÓN RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA VELOCIDAD: 6. CELERIDAD: MAGNITUD ESCALAR QUE MIDE LA RAPIDEZ CON QUE SE DESPLAZA EL MÓVIL SOBRE LA TRAYECTORIA. EN MOVIMIENTOS CURVOS c m v m ¡¡¡¡no de espacio recorrido!!!!

29 MAGNITUDES CINEMÁTICAS 7. ACELERACIÓN: MIDE LOS CAMBIOS DE VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO. AL DERIVAR EL VECTOR VELOCIDAD RESPECTO DEL TIEMPO OBTENEMOS LA ACELERACIÓN: COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN: a = at +an

30 MAGNITUDES CINEMÁTICAS a) ACELERACIÓN TANGENCIAL (cambia el módulo de v mientras que la dirección u t se mantiene constante): b) ACELERACIÓN NORMAL (cambia la dirección de v mientras que el módulo se mantiene constante): SE PUEDEN HACER EJERCICIOS 6,7 Y 8

31 6.C INEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES MRU DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA CON VELOCIDAD CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS: 1. Trayectoria: Línea recta con sentido constante 2. Velocidad: Constante en valor, dirección y sentido 3. Aceleración: Nula ECUACIONES

32 6.C INEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES MRUA DESPLAZAMIENTO EN LÍNEA RECTA CON VELOCIDAD VARIABLE Y ACELERACIÓN CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS: 1. Trayectoria: Línea recta 2. Velocidad: Constante en dirección pero variable en sentido y módulo 3. Aceleración: a n =0; a t = cte en valor, dirección y sentido ECUACIONES

33 6.C INEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES CAÍDA LIBRE MRUA CON LAS SIGUIENTES CARACTERÍSTICAS: 1. Trayectoria: Línea recta vertical descendente 2. Velocidad: Constante en dirección y sentido. Su módulo aumenta desde v Aceleración: a n =0; a t = -g ECUACIONES

34 6.C INEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES CAÍDA DE CUERPOS LANZADOS ECUACIONES

35 6.C INEMÁTICA DE LOS MOVIMIENTOS SIMPLES MCU EL RECORRIDO ES UNA CIRCUNFERENCIA PERO LA CELERIDAD ES CONSTANTE. CARACTERÍSTICAS: 1. Trayectoria: Circunferencia recorrida siempre en igual sentido 2. Velocidad: Cambia continuamente de dirección pero es constante en su módulo 3. Aceleración: a n =cte; a t = 0 ECUACIONES

36 7. CÁLCULO INTEGRAL Si F(x) es una función primitiva de f(x), la expresión F(x)+C se llama integral definida de f(x) y se designa como f(x)dx f(x)dx = F(x)+C Este caso es el inverso del cálculo de una derivada: f(x) = dF(x)/dx. TABLA DE INTEGRALES: dx = x+ C kdx = kx + C

37 7. CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA: ES EL ÁREA LIMITADA POR UNA CURVA. Dividimos el área en pequeños rectángulos. El cálculo será más aproximado cuanto más pequeña sea la base. La relación entre el área y el cálculo integral viene dada por la regla de Barrow :

38 8. D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL LA DINÁMICA SE ENCARGA DE BUSCAR EL ORIGEN DE LOS MOVIMIENTOS. LEYES DE NEWTON: PRIMERA LEY DE LA DINÁMICA : PRINCIPIO DE INERCIA Todo cuerpo mantiene su estado de movimiento a no ser que actúe una fuerza sobre él SEGUNDA LEY DE LA DINÁMICA : PRINCIPIO FUNDAMENTAL La aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a las fuerzas a las que está sometido. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo

39 8. DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL TERCERA LEY DE LA DINÁMICA : PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo realiza simultáneamente otra fuerza sobre el primero, de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario. A TENER EN CUENTA Acción y reacción son dos procesos simultáneos (no consecutivos) Las dos fuerzas no se anulan entre sí porque actúan sobre cuerpos Fuerzas iguales no implican efectos iguales. Las consecuencias de cada una dependen de su masa

40 8.1. ESTUDIO DINÁMICO DE ALGUNOS MOVIMIENTOS SIMPLES MRU NO TIENE ACELERACIÓN, POR LO QUE F resultante = 0 MRUA an = 0 y at = cte a = cte. ASÍ, COMO a = cte ; m = cte F resultante = cte MCU at = 0 y an = cte ACELERACIÓN NORMAL CONSTANTE LA FUERZA QUE PRODUCE UN MCU ES UNA FUERZA CENTRÍPETA PERPENDICULAR AL VECTOR VELOCIDAD Y DIRIGIDA AL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

41 D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL: ES EL PRODUCTO DE LA MASA DE UN CUERPO POR SU VELOCIDAD TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE v EN EL S.I. SE EXPRESA EN kg·m/s EXPRESIÓN DE LA 2ª LEY DE LA DINÁMICA EN FUNCIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO: Así, si la fuerza F total es nula, eso quiere decir que dp/dt =0, por tanto, p = cte EN TODO CUERPO AISLADO, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO SE CONSERVA

42 D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL IMPULSO MECÁNICO: INDICA QUE EL EFECTO DE UNA FUERZA SOBRE EL ESTADO DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO DEPENDE DEL TIEMPO DURANTE EL QUE ACTÚA

43 D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL TEOREMA DEL IMPULSO: RELACIONA EL IMPULSO COMUNICADO A UN CUERPO CON LA VARIACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO QUE EXPERIMENTA: SI LA FUERZA ES CONSTANTE:

44 D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL TRABAJO: RELACIONA EL MOVIMIENTO CON LA ENERGÍA ES EL PRODUCTO ESCALAR DE LA FUERZA Y EL DESPLAZAMIENTO EN EL S.I. SE MIDE EN J SI TENEMOS UN MOVIMIENTO NO RECTILÍNEO Y/O UNA FUERZA VARIABLE:

45 D INÁMICA DEL PUNTO MATERIAL TRABAJO DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS: UNA FUERZA CONSERVATIVA ES AQUELLA CUYO TRABAJO SOBRE UN OBJETO EN MOVIMIENTO ENTRE DOS PUNTOS ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA QUE EL OBJETO TOME ENTRE ESOS DOS PUNTOS PARA UNA FUERZA NO CONSERVATIVA, EL TRABAJO SÍ DEPENDE DE LA TRAYECTORIA DEL OBJETO

46 9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS : El trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre un punto material es igual a la variación de su energía cinética TEOREMA DEL TRABAJO O DE LA ENERGÍA POTENCIAL: El trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre un punto es independiente del camino y coincide con el opuesto de la variación de la energía potencial asociada a dicha fuerza ( U= Ep)

47 9. ENERGÍA MECÁNICA DEL PUNTO MATERIAL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA : Em = Ec + Ep SI TODAS LAS FUERZAS SON CONSERVATIVAS: CUANDO TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN PUNTO MATERIAL SON CONSERVATIVAS: Em = 0. SI EXISTEN FUERZAS NO CONSERVATIVAS (p.e. rozamiento), W = Ec + Ep = Em

48 10. D INÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO: CONSERVA SU FORMA DURANTE EL MOVIMIENTO TRASLACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN TRAYECTORIAS PARALELAS ROTACIÓN: TODAS LAS PARTÍCULAS DESCRIBEN CIRCUNFERENCIAS ALREDEDOR DE UN EJE DE ROTACIÓN PARA PRODUCIR ROTACIÓN NECESITO PAR DE FUERZAS: Sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual valor que actúan sobre un cuerpo en sentido contrario y sobre líneas de acción distintas CUANDO UN PAR DE FUERZAS ACTÚA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO EN REPOSO, PROVOCA MOVIMIENTO DE ROTACIÓN PURO.

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50 10. D INÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UNA FUERZA: CUANDO SE EJERCE UNA FUERZA SOBRE UN SÓLIDO RÍGIDO QUE PUEDE GIRAR ALREDEDOR DE UN EJE, EL SÓLIDO ROTA PORQUE EN EL EJE SE CREA UNA FUERZA DE REACCIÓN DE IGUAL VALOR Y DIRECCIÓN QUE LA FUERZA EXTERNA APLICADA PERO DE SENTIDO CONTRARIO. SE GENERA ASÍ UN PAR DE FUERZAS EL MOMENTO DE UNA FUERZA F APLICADA EN UN PUNTO P RESPECTO DE O ES EL PRODUCTO VECTORIAL DE r = OP Y F

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53 10. D INÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS: MAGNITUD VECTORIAL QUE TIENE POR MÓDULO CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR LA DISTANCIA (PERPENDICULAR) ENTRE ELLAS

54 10. D INÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE UN PAR: MAGNITUD VECTORIAL INTRÍNSECA DEL PAR, INDEPENDIENTE DEL PUNTO ELEGIDO COMO ORIGEN DE COORDENADAS MÓDULO IGUAL AL PRODUCTO DE CUALQUIERA DE LAS FUERZAS POR EL BRAZO DEL PAR (DISTANCIA ENTRE LAS LÍNEAS DE ACCIÓN DE LAS DOS FUERZAS) DIRECCIÓN PERPENDICULAR AL PLANO DEFINIDO POR EL PAR DE FUERZAS. SU SENTIDO SE OBTIENE DE LA REGLA DEL SACACORCHOS

55 10. D INÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE ROTACIÓN: Cuando se ejerce un par de fuerzas sobre un sólido rígido o se aplica una fuerza a un cuerpo con eje de giro, todos los puntos (a excepción de los del propio eje) realizan movimientos circulares con aceleración angular El momento de la fuerza se calcula con la ecuación: MOMENTO DE INERCIA (I): Oposición que presenta el cuerpo a modificar su estado de rotación (similar al papel de la masa en la traslación) Masa puntual: I = m·r 2 Sistema de partículas:

56 11. M OMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN EL MOMENTO ANGULAR ES EL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA MASA RESPECTO DE UN PUNTO O. DEPENDE DEL SISTEMA DE REFERENCIA ESCOGIDO SE MIDE EN kg·m 2· s -1 IMPORTANTE PARA EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PLANETARIO

57 11. M OMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN TEOREMA DEL MOMENTO ANGULAR O CINÉTICO : OBTENIDO AL DERIVAR EL MOMENTO ANGULAR RESPECTO DEL TIEMPO MOMENTO ANGULAR DEL SÓLIDO RÍGIDO : GIRO DE UN DISCO PLANO RESPECTO DEL EJE. MOMENTO ANGULAR DE CADA PARTÍCULA:

58 11. M OMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR : CUANDO M=0, dL/dt=0, lo que supone que L=cte. Así, SI LA SUMA DE LOS MOMENTOS DE FUERZA EXTERIORES QUE ACTÚAN SOBRE UN CUERPO ES NULA, EL PRODUCTO DEL MOMENTO DE INERCIA POR LA VELOCIDAD ANGULAR SE MANTIENE CONSTANTE:

59 11. M OMENTO ANGULAR Y ENERGÍA DE ROTACIÓN ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN : EN UN SÓLIDO RÍGIDO, PODEMOS DESCOMPONER EL MOVIMIENTO EN DOS COMPONENTES:


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