Tema 3. movimiento vibratorio armónico

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1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS ARMÓNICOS
LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS SE PRODUCEN CUANDO LOS PUNTOS QUE COMPONEN UN CUERPO SE DESPLAZAN ALREDEDOR DE SU POSICIÓN DE EQUILIBRIO EJEMPLOS: Membrana de un tambor, cuerda de una guitarra, cuerpo suspendido de un muelle, péndulo de un reloj, columpio, salto en una cama elástica DENTRO DE LOS MOVIMIENTOS OSCILATORIOS PERIÓDICOS, EL MÁS SENCILLO ES EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE Al colgar una masa, el muelle se deforma hasta alcanzar el equilibrio (el peso del cuerpo tira hacia abajo y la fuerza elástica del muelle hacia arriba) En equilibrio:

CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE Si ahora tiro del cuerpo hacia abajo y lo desplazo una distancia x = l –l0  el cuerpo deja de estar en equilibrio porque las fuerzas ya no se contrarrestan: La fuerza elástica obliga al cuerpo a volver al equilibrio, tirando de él hacia arriba o hacia abajo

CUERPO SUSPENDIDO DE UN MUELLE 2ª Ppio. de la Dinámica

PÉNDULO SIMPLE HILO VERTICAL: CUERPO EN EQUILIBRIO (P CONTRARRESTADO POR T DEL HILO) CUERPO DESPLAZADO DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO: LA TENSIÓN SÓLO CONTRARRESTA LA COMPONENTE NORMAL DEL PESO LA FUERZA RESULTANTE ES LA COMPONENTE TANGENCIAL

PÉNDULO SIMPLE EN EL EQUILIBRIO: Al soltar el péndulo, éste oscila alrededor de la posición de equilibrio. Para oscilaciones de poca amplitud: Sen a ≈ a Trayectoria curva = trayectoria de la cuerda s=x Velocidad del cuerpo: Nula en los extremos Máxima en el equilibrio 2ª Ley de la Dinámica

PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO PERMITE ESTUDIAR LA CINEMÁTICA DEL M.A.S. PROYECTAMOS LAS POSICIONES DE UN M.C.U. SOBRE UNO DE SUS DIÁMETROS: AL PROYECTAR SOBRE EL EJE X OBTENEMOS LOS PUNTOS a1, a2, … entre +A y -A AL PROYECTAR SOBRE EL EJE Y OBTENEMOS LOS PUNTOS b1, b2, … entre +B y -B

PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO Posición a coincide con componente x del vector posición Posición b coincide con componente y del vector posición

PROYECCIÓN DE UN MCU SOBRE UN DIÁMETRO M.C.U. con movimiento antihorario, velocidad angular w y ángulo inicial con el eje x j0: j = j0+wt Vector posición: a y b se mueven alrededor del punto O, tardando el mismo tiempo en dar una vuelta completa (PERÍODO):

CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. ES PERIÓDICO: CADA CIERTO TIEMPO (PERÍODO) EL CUERPO VUELVE A TENER LAS MISMAS MAGNITUDES CINEMÁTICAS Y DINÁMICAS ES OSCILATORIO (O VIBRATORIO), PUESTO QUE EL CUERPO OSCILA ALREDEDOR DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO LA AMPLITUD ES EL VALOR MÁXIMO DE ELONGACIÓN SE DESCRIBE MEDIANTE LA FUNCIÓN ARMÓNICA SENO O COSENO

MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DEL M.A.S. ELONGACIÓN (x)  Separación del cuerpo de la posición de equilibrio (en metros) AMPLITUD (A)  Máxima elongación experimentada (en metros) PERÍODO (T)  Tiempo en realizar una oscilación completa (en segundos) FRECUENCIA (f)  N· de oscilaciones por segundo (en herzios )[1 Hz = 1 s-1] FRECUENCIA ANGULAR (w)  Número de períodos comprendidos entre 2P segundos (en rad/s) FASE (j)  Ángulo que determina el estado de vibración del cuerpo (en el instante t = 0), la fase inicial es j0 (en rad)

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S. MODELO: Cuerpo unido a un muelle que se desliza por el plano horizontal  aceleración opuesta al desplazamiento y proporcional a éste POSICIÓN  Dada por la coordenada x (coincide con elongación): Se mide en m y oscila entre –A y A VELOCIDAD  Es la variación instantánea de la posición respecto del tiempo Se mide en m/s y oscila entre A·w y –A·w

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S. ACELERACIÓN Mide la variación de la velocidad respecto del tiempo Se mide en m/s2 y varía entre –A·w2 y A·w2 j’0 = j0 –P/2

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S. RELACIÓN v-x Se puede obtener eliminando la fase con la relación trigonométrica: sen2 j + cos2 j = 1 A cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta Elevamos al cuadrado cada una de las ecuaciones (la de x y la de v) y las sumamos: Sacamos el mínimo común múltiplo y despejamos v en función de w, A y x:

2. CINEMÁTICA DEL M.A.S. RELACIÓN v-a
Si v y a tienen el mismo signo: movimiento acelerado (↑ rapidez) Si v y a tienen signo contrario: movimiento decelerado (↓ rapidez) RELACIÓN a-x . La relación entre a y x es proporcional y de sentido contrario A cada posición le corresponden 2 velocidades: ida y vuelta Dividimos la expresión de “a” entre la expresión de “x”

GRÁFICAS DEL M.A.S. Tomando w=2P/T y j0 = 0:

GRÁFICAS DEL M.A.S. CONCLUSIONES:
x, v y a varían periódicamente (vuelven a tomar un mismo valor transcurrido un período) x, v y a están desfasadas entre sí (ni se anulan ni alcanzan el valor máximo a la vez) v está adelantada en un cuarto de período (P/4) respecto a la elongación, y la aceleración está desfasada medio período (P/2) respecto a la elongación

CONDICIONES INICIALES DE MOVIMIENTO
PODEMOS ELEGIR CUALQUIER INSTANTE PARA COMENZAR EL ESTUDIO PUESTO QUE EL CUERPO REPITE EL MOVIMIENTO CONTINUAMENTE CONOCIDAS x0, v0 Y w  CALCULAMOS j0 Y A Elevamos al cuadrado las expresiones de x0 y v0 y las sumamos, despejando A

3. DINÁMICA DE UN M.A.S. EL COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE UN M.A.S. SE OBTIENE SUSTITUYENDO LA CONDICIÓN DE ACELERACIÓN (a = -w2·x) EN LA ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA: La fuerza necesaria para producir un M.A.S. es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo, pero de sentido contrario k es la constante de proporcionalidad y, para un muelle, coincide con la constante elástica (ke)

3. DINÁMICA DE UN M.A.S. Cada oscilador está caracterizado por una constante k y una masa m que determinan w, f y T:

3. DINÁMICA DE UN M.A.S. ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE: La fuerza resultante es la tangencial del peso (Pt). Si las oscilaciones son de poca amplitud, aproximamos a movimiento lineal w y T independientes de m y A Con un péndulo de l conocida podemos calcular g midiendo el período de oscilación

4. ESTUDIO ENERGÉTICO DEL OSCILADOR ARMÓNICO
UN OSCILADOR ARMÓNICO TIENE ENERGÍA CINÉTICA PORQUE ESTÁ EN MOVIMIENTO Y ENERGÍA POTENCIAL PORQUE LA FUERZA RECUPERADORA (F = -k·x), LE OBLIGA A OSCILAR LA FUERZA RECUPERADORA ES UNA FUERZA CONSERVATIVA, LO QUE SUPONE: El trabajo realizado sobre un cuerpo depende sólo de las posiciones final e inicial

ENERGÍA CINÉTICA: La energía cinética varía de forma periódica y depende de la elongación (su valor en los extremos es nulo [v = 0] y en el equilibrio es máximo)

ENERGÍA CINÉTICA: Utilizando la expresión

ENERGÍA POTENCIAL: La energía potencial es proporcional al cuadrado de la elongación Se anula en el equilibrio (x = 0) y alcanza su valor máximo en los extremos (x =± A) El trabajo realizado por la fuerza recuperadora: F = k·x, entre dos posiciones A y B, depende sólo de las posiciones inicial y final, por lo que W AB=-(EPB-EPA)

TRABAJO DE LA FUERZA RECUPERADORA: La fuerza recuperadora F = -k·x es conservativa, por lo que se cumple que Si comparamos ambas expresiones: Por tanto:

Ep SE ANULA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0) Y TIENE SU VALOR MÁXIMO EN LOS EXTREMOS (x =± A) Al estirar el resorte una distancia x, la energía potencial almacenada coincide con el trabajo de la fuerza externa necesaria para deformarlo, pero de sentido contrario: Ep=Wext=0,5·k·x2

ENERGÍA MECÁNICA: Em = Ec + Ep Sustituyendo por las expresiones obtenidas anteriormente: LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE Sabiendo que sen2 a + cos2 a = 1

LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte k= m·w2 w=2·P/T=2·P·f Em = constante en cualquier instante ya que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es la fuerza recuperadora (una fuerza conservativa)

LA ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO PERMANECE CONSTANTE, PUESTO QUE Ec Y Ep VARÍAN CON EL TIEMPO Y LA POSICIÓN DE FORMA QUE Em = Ec + Ep = cte

LAS ENERGÍAS CINÉTICA Y POTENCIAL DE UN OSCILADOR VARÍAN EN FUNCIÓN DE LA POSICIÓN (x). LA ENERGÍA MECÁNICA ES LA SUMA DE AMBAS

DIAGRAMA ENERGÉTICO

VALORES DE LAS ENERGÍAS EN POSICIONES SUCESIVAS DE UN M.A.S Para x = 0 Ec máx Ep = 0 Para x = xmáx = A Ec = 0 Ep máx

CUANDO EL CUERPO SE ALEJA DE LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO (x = 0), SU ENERGÍA POTENCIAL AUMENTA Y SU ENERGÍA CINÉTICA DISMINUYE CUANDO EL CUERPO SE ACERCA A LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO, SU ENERGÍA CINÉTICA AUMENTA HASTA ALCANZAR SU VALOR MÁXIMO Y SU ENERGÍA POTENCIAL DISMINUYE EN CUALQUIER POSICIÓN, Ec Y Ep SON POSITIVAS Y SU SUMA ES LA Em, QUE PERMACE CONSTANTE EN TODO MOMENTO

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