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Oscilaciones Mecánicas Tercer encuentro Docente: Lic. Anays Mata Mayo.

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1 Oscilaciones Mecánicas Tercer encuentro Docente: Lic. Anays Mata Mayo

2 Bases matemáticas Movimiento Armónico El oscilador armónico simple Movimiento armónico simple Consideraciones de energía en el M.A.S. Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas y resonancia

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4 Fenómenos oscilatorios

5 Funciones seno y coseno y=sen xy´=cos xy´´=-sen x y= cos xy´=-sen xy´´=- cos x Máximo: y=1Mínimo: y=-1

6 Conceptos fundamentales

7 Oscilador armónico simple Movimiento Armónico Simple: Partícula que vibra con respecto a una posición de equilibrio Bajo la influencia de una fuerza que es proporcional a la distancia de la partícula a la posición de equilibrio Ej. Partícula de masa m fija a un resorte cuya constante de fuerza es k (N/m)

8 Oscilador armónico simple Suelto Estirado Comprimido F=-kx El signo – indica que la fuerza está dirigida hacia la izquierda cuando x es positiva, y hacia la derecha cuando x es negativa. La fuerza sobre la partícula está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio x = 0 Uno de los ejemplos clásicos de movimiento armónico simple es el descrito por una partícula de masa m acoplada a un resorte con constante de elasticidad k. Cuando esta partícula se desplaza (sin rozamiento) a una distancia x de la posición de equilibrio (posición donde el resorte no está deformado), actúa sobre ella una fuerza que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste

9 Ecuaciones

10 Movimiento Armónico Simple La ecuación anterior requiere que x(t) sea alguna función cuya segunda derivada sea igual a la función misma, y con signo cambiado, salvo por un factor constante k/m. Funciones seno y coseno

11 Sustituyendo en: Tenemos:

12 El periodo de oscilación depende de la masa de la partícula m que vibra y de la constante de fuerza k La frecuencia del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo

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14 La función coseno toma valores desde -1 hasta +1. La elongación x, contada a partir de la posición central de equilibrio x=0 tiene un máximo valor de A. Por tanto, A (=x máx. ) es la amplitud del movimiento. El periodo de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud:

15 Importancia Física constante (La elongación es 0 para t=0) (La elongación es máxima para t=0)

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17 Comparación de movimientos armónicos ¿Pudiera usted escribir una ecuación para cada movimiento?

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19 Consideraciones energéticas en el M.A.S.

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23 Ejercicio Se sabe que un resorte se estira 0,076 m con respecto a su posición de equilibrio cuando obra sobre él una fuerza de 3,34 N. Se toma un cuerpo de 0,68 kg, se fija al extremo del resorte y se jala 0,1 m a partir de su posición de equilibrio en una mesa horizontal sin fricción. Entonces se suelta el cuerpo y ejecuta un movimiento armónico simple. a)¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? b)¿Cuál es la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo de 0,68 kg cuando está a punto de ser soltado? c) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo? d) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? e) ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo en vibración? f) ¿Cuál es la máxima aceleración del cuerpo? g) Calcule la velocidad, la aceleración y las energías cinética y potencial del cuerpo cuando se ha movido a la mitad de su distancia hacia el centro del movimiento, a partir de su posición inicial h) Calcule la energía total del sistema oscilante i) ¿Cuál es la ecuación del movimiento del cuerpo?

24 Movimiento armónico amortiguado En la práctica la amplitud de la oscilación gradualmente decrece hasta cero, como consecuencia de la fricción.

25 Movimiento armónico amortiguado Ecuación del movimiento:

26 Cuando hay fricción la frecuencia es más pequeña y el periodo más grande.

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28 Oscilaciones forzadas y resonancia Cuerpo que se somete a una fuerza externa oscilatoria

29 El sistema vibra con la frecuencia ω de la fuerza aplicada y no con su frecuencia natural ω. G es grande cuando ω es muy diferente de ω, siendo la amplitud del movimiento resultante muy pequeña. Cuando ω y ω se aproximan, G se hace pequeño y la amplitud aumenta. ω ω La amplitud llega a un valor máximo cuando la frecuencia impulsora y la frecuencia natural son casi iguales.

30 La amplitud de las vibraciones forzadas depende de la fuerza de fricción y de la frecuencia aplicada. A mayor fricción, mayor G y menor amplitud. Cuando no hay fricción (b=0) y ωω, la amplitud se hace infinita en la resonancia.

31 El 1º de Julio de 1950 el puente de Tacoma Narrows en Puget Sounds Washington, E.U.A. se terminó y se abrió al tráfico. Era entonces el tercer puente más grande del mundo. Exactamente 4 meses después un viento moderado puso al puente a oscilar hasta que el tramo central se rompió, arrancándose de los cables que lo soportaban y estrellándose en el agua del río. El viento que estaba soplando produjo una fuerza resultante en resonancia con una frecuencia natural de la estructura. Esto originó un aumento constante de amplitud hasta que el puente quedó destruido. Más tarde se recalcularon muchos puentes para hacerlos aerodinámicamente estables.

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