TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS

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1 TEMA 3.6. OSCILACIONES ARMONICAS
SUBTEMA CARACTERISTICAS DE LAS OSCILACIONES ARMONICAS.

2 El movimiento armónico simple es un movimiento periódico, es decir se repite a intervalos iguales de tiempo. Puede ser descrito en función del movimiento circular uniforme, considerándolo como la proyección sobre cualquier diámetro de un punto que se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante como se ve en la figura siguiente.

3 P Q A O r VL a

4 Al observar el movimiento armónico que describe el punto A de la figura anterior al moverse de un lado a otro de la línea recta formada por P y Q, podemos apreciar que su velocidad cambia en forma constante: cuando está en el punto central O su velocidad es la máxima, mientras en P y Q la velocidad es momentáneamente nula; después aumenta poco a poco hasta llegar a O donde es máxima para de nuevo disminuir hasta llegar a cero en el otro extremo de la trayectoria.

5 Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una aceleración
Es evidente que si la velocidad va cambiando, existe una aceleración. Dicha aceleración siempre se dirige a la posición central de equilibrio y su valor varía de la siguiente forma: cuando se inicia el movimiento en cualquiera de los extremos P o Q hacia el centro o punto O, en los extremos se tiene la mayor aceleración, la cual disminuye a medida que se acerca al centro donde se hace nula; después de pasar el punto central, nuevamente aumenta la aceleración hasta llegar a su valor máximo, cuando llega al otro extremo, en el que la velocidad de hace nula. Por lo tanto en la posición de equilibrio la aceleración es nula y la velocidad tendrá su valor máximo, y en los extremos la aceleración tendrá su valor máximo y la velocidad nula.

6 En el movimiento armónico simple resultan útiles los siguientes conceptos:
Elongación.- Es la distancia de una partícula a su punto de equilibrio. Puede ser positiva o negativa, según esté hacia la derecha o a la izquierda de la posición de equilibrio. Amplitud. Es la máxima elongación cuyo valor será igual al radio de la circunferencia. Para calcular la elongación de una partícula oscilatoria en cualquier instante de tiempo t se usa la expresión: Y = r cos 2 π F t. obtenida mediante la siguiente deducción:

7 Al representar a la elongación con la letra Y y al considerar que la elongación de una partícula oscilatoria es igual a la proyección sobre el diámetro horizontal del radio r descrita por el móvil de la figura siguiente se tiene que el valor de Y equivale al cateto adyacente, por lo cual su valor es: Y = r cos θ. (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), sustituyendo 2 y 3 en 1: Y = r cos 2 π F t.

8 VL Y r θ

9 Donde: Y = elongación de la partícula en metros.
r = radio de la circunferencia en metros. F = frecuencia en ciclos/seg t = tiempo en segundos (seg)

10 Velocidad de oscilación
Velocidad de oscilación.- Es el resultado de proyectar la velocidad lineal del movimiento circular de un cuerpo sobre el diámetro de la circunferencia como se ve en la figura siguiente, de modo que la expresión matemática de la velocidad de oscilación será: v = - vL sen θ (1), como θ = ω t (2), ω = 2 π F (3), vL = ω r (4), sustituyendo 2, 3 y 4 en 1 queda: v = - 2 π F r sen 2 π F t. donde v = velocidad de oscilación en m/seg. F = frecuencia en ciclos/seg. r = radio de la circunferencia en metros (m) t = tiempo en segundos (seg).

11 A C D B VL v θ

12 Como se observa en la figura anterior, cuando la velocidad lineal es paralela al diámetro (puntos A y C), la velocidad de oscilación del cuerpo será mayor y tendrá un valor igual a la velocidad lineal. Cuando la velocidad lineal es perpendicular al diámetro (puntos B y D) su proyección sobre el diámetro es nula, por lo tanto su valor es cero.

13 Aceleración de una partícula oscilante
Aceleración de una partícula oscilante.- En el MAS, la aceleración de una partícula oscilante tiene un valor igual a la proyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar, del movimiento circular uniforme de un cuerpo como se ve en la figura siguiente, por lo que la expresión matemática de la aceleración de una partícula oscilante será:

14 a ar θ VL

15 a = - ar cos θ. como ar = ω2 r. ω = 2 π F θ = ω t θ = 2 π F t. tendremos que : a = - 4 π2 F2 r cos 2 π F t. puesto Y = r cos 2 π F t., la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante también se puede expresar como: a = - 4 π2 F2 Y. donde a = aceleración en m/seg2. F = frecuencia en ciclos/seg. Y = elongación en metros (m).

16 El signo de la aceleración de una partícula oscilante es negativa, por que su sentido es siempre contrario al sentido del movimiento. Si observamos la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante, tenemos que ésta es directamente proporcional a la elongación, pero de sentido contrario. De la ecuación de la aceleración de una partícula oscilante puede despejarse la frecuencia quedando de la siguiente manera: ___________ ____ F = √ - a/4 π 2Y = 1 / 2 π √ - a/Y

17 GRAFICAS SINUSOIDALES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
En el movimiento armónico simple (MAS) la elongación, la velocidad y la aceleración se expresan en funciones trigonométricas sencillas de un ángulo. Se le denomina simple para distinguirlo de un movimiento amortiguado. Una curva senoide es la gráfica del seno de un ángulo trazada en función del ángulo. Toda onda de esta forma recibe el nombre de senoide o sinusoide. Para trazar las gráficas sinusoidales del MAS, recordemos lo siguiente :

18 1.- La Elongación Y es la distancia que separa al móvil del centro o posición de equilibrio. Es positiva si está a la derecha de su posición de equilibrio y negativa si está a la izquierda. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión: Y = r cos ω t . Nota: La amplitud es la máxima elongación, cuyo valor es igual al radio r de la circunferencia. 2.- La velocidad de oscilación v, es el resultado de proyectar la velocidad lineal vL del movimiento circular de un cuerpo, sobre el diámetro de la circunferencia. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión: v = - vL sen θ. como VL = ω r y θ = ω t por lo tanto: v = - ω r sen ω t.

19 La velocidad de oscilación será positiva si el móvil va a la derecha y negativa si va a la izquierda. 3.- La aceleración de una partícula oscilante a, tiene un valor igual a la proyección sobre el diámetro de la aceleración radial ar del movimiento circular uniforme de un móvil. Su valor a un tiempo t se calcula con la expresión: a = - ar cos θ. como ar = ω2 r y θ = ω t, por lo tanto: a = - ω2 r cos ω t.

20 Oscilador Armónico. Otro ejemplo de movimiento armónico simple es el que presenta el resorte de la figura siguiente, el cual tiene suspendido un cuerpo en su extremo inferior:

21 (a) posición de equilibrio
(b) Fuerza debida al tirón. (c) Fuerza de restitución.

22 Al darle un tirón hacia abajo al cuerpo que tiene suspendido el resorte, éste se estira (inciso b de la figura) y al soltar el cuerpo la fuerza de restitución del resorte tratará de que recupere su posición de equilibrio, pero al pasar por ella y debido a la velocidad que lleva, por inercia sigue su movimiento comprimiendo el resorte (inciso c de la figura), por ello vuelve a actuar la fuerza de restitución ahora hacia abajo y nuevamente el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Sin embargo, por la inercia no se detiene y se estira nuevamente, así actúa otra vez la fuerza de restitución jalándolo hacia arriba. Se repiten en forma sucesiva estos movimientos de abajo hacia arriba y el cuerpo se comporta como un oscilador armónico.

23 Si no existieran fuerzas de fricción, el movimiento del cuerpo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, continuaría indefinidamente. Conforme aumenta la fuerza del tirón aplicado al cuerpo, la fuerza de restitución encargada de que el cuerpo recupere su posición de equilibrio, también aumenta en la misma proporción. Según la Ley de Hooke la fuerza de restitución que actúa para que un cuerpo recupere su posición de equilibrio es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo. Como la fuerza de restitución es opuesta al desplazamiento su signo es negativo y la expresión matemática siguiente resume lo expuesto:

24 F = - kd. donde F = fuerza de restitución en Newtons (N) k = constante del resorte cuyo valor depende del tipo de material elástico de que se trate y cuyas unidades son N/m. d = desplazamiento experimentado por el cuerpo elástico de que se trate en metros (m).

25 El periodo de un vibrador armónico simple, como es el caso del resorte de la figura anterior depende de su rigidez. Por lo tanto, a mayor rigidez del resorte, menor es su periodo. Si un resorte es más rígido que otro realizará una fuerza de restitución mayor para un desplazamiento dado y su aceleración también será mayor. La rigidez del resorte se expresa mediante la constante del resorte k equivalente a la fuerza de restitución por unidad de desplazamiento. donde: k = F/d (1).

26 Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0
Por ejemplo, si para un resorte que se desplaza 0.1 metros actúa una fuerza de restitución de 0.98 Newtons, y cuando se desplaza 0.2 metros actúa una fuerza de 1.9 Newtons, su constante del resorte será igual a: k = 0.98 N/0.1 m = 9.8 N/m ó bien k = 1.96 N/0.2 m = 9.8 N/m De acuerdo con la Ley de Hooke: F = - kd, el signo (-) significa que el sentido de la fuerza de restitución es opuesto al del desplazamiento o elongación del resorte; y de la Segunda Ley de Newton tenemos: F = ma, siendo a, la aceleración del resorte en cualquier instante, de donde: F = ma = -kd (2). por consiguiente : a = - (k/m) d (3).

27 La ecuación 3 nos indica que la aceleración de un cuerpo vibrador con un movimiento armónico simple, es directamente proporcional a su desplazamiento o elongación en cualquier instante. En forma experimental se ha encontrado que el periodo de un vibrador armónico simple es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su masa, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la constante del resorte (k). Estos resultados experimentales se expresan matemáticamente con la siguiente ecuación, la cual nos permite calcular el periodo de vibración de un cuerpo con un MAS, y en el que se observa que su valor es independiente de la amplitud. ___________ T = 2 π √ m/k (4) donde T = periodo en segundos (seg) m = masa del cuerpo vibrador en kilogramos (kg). k = constante del resorte en N/m.

28 PENDULO SIMPLE. Un péndulo simple está constituido por un cuerpo pesado suspendido en un punto sobre un eje horizontal por medio de un hilo de masa despreciable. Cuando se separa un péndulo de su posición de equilibrio y después se suelta, oscila a uno y otro lado del mismo efecto de su peso, como se ve en la figura siguiente:

29 a θ l b d c F F’ e P = mg

30 El movimiento de un péndulo es otro ejemplo de movimiento armónico simple (MAS) y su periodo puede ser calculado con la siguiente ecuación: _______ T = 2 π √ l/g Donde: T = periodo del péndulo en segundos (seg). l = longitud del péndulo en metros (m) se mide desde el punto donde está suspendido hasta el centro de gravedad del cuerpo pesado que constituye al péndulo). g = aceleración de la gravedad igual a 9.8 m/seg2.

31 De la ecuación anterior se desprenden las dos leyes del péndulo:
1ª.- El periodo de las oscilaciones, por muy pequeñas que sean, no depende de la masa del péndulo ni de la amplitud del movimiento, sino de su longitud. 2ª.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo, e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración debido a la acción de la gravedad. La ecuación empleada para calcular el periodo de un péndulo, se puede deducir a partir de la figura anterior. En ella representamos la longitud del péndulo con l, al peso con P, a la masa m, y al desplazamiento con d. Como P = mg y sus dos componentes rectangulares son F y F’, y si además consideramos pequeño al ángulo θ, por lo cual los triángulos abc, y cde, son prácticamente iguales, tenemos lo siguiente:

32 F/mg = d/l (1) reordenando términos: F/d = mg/l = k (2). De acuerdo con la ecuación 4 de la sección anterior sabemos que: T = 2 π √ m/k (3). Sustituyendo 2 en 3 tenemos: ______ T = 2 π √ m/mg/l (4) ___ Por lo tanto T = 2 π √ l/g