2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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1 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés
CÓNICAS 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA. CORTES CON UN PLANO UN POCO DE HISTORIA LA CIRCUNFERENCIA LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA LA PARÁBOLA PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS CÓNICAS (enlace) EJERCICIOS (Enlace) ENLACES 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

3 SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS
Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica. Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas: Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

4 Otras aplicaciones de las cónicas
UN POCO DE HISTORIA Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol. Otras aplicaciones de las cónicas

5 Las Cónicas como lugar geométrico
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz. Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante. Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante . La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’) 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA CIRCUNFERENCIA TRASLADADA POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA EJE RADICAL 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

7 LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDA
geogebra Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) r y x Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r Ecuación reducida de la circunferencia 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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LA CIRCUNFERENCIA Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) y r y-b b C(a,b) x-a Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r a x Tambien: 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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LA ELIPSE DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA ELIPSE TRASLADADA EXCENTRICIDAD 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

10 LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDA
geogebra Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). P(x,y) a b a F’ c F Ecuación reducida de la elipse a b c 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

11 LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). Ecuación reducida de la elipse B(0,b) a a b Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) A’(-a,0) C(0,0) c A(a,0) F’(-c,0) F(c,0) F(c,0) y F’(-c,0) A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) |AA’|=2a B’(0,-b) NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor |BB’|=2b y=0 a x=0 b e=c/a (e<1) c 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

12 EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
Ecuación reducida de la elipse Excentricidad de la elipse: e = 0 c=0 , es decir, los focos coínciden: Se trata de una CIRCUNFERENCIA e = 1 c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de un SEGMENTO 0 < e < 1 c < a : Se trata de una ELIPSE propiamente dicha 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

13 LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (llamados focos) es constante (2a). A(0,a) Ecuación reducida de la elipse F(0,c) a c Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) B’(-b,0) b C(0,0) B(b,0) F(0,c) y F’(0,-c) a A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y B’(-b,0) F’(0,-c) |AA’|=2a NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY |BB’|=2b A’(0,-a) x=0 a y=0 b e=c/a c 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

14 ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)
Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante (2a). B(x0,y0+b) Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(x0,y0) b a F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0) F’(x0-c,y0) c A(x0+a,y0) A’(x0-a,y0) C(x0,y0) F(x0+c,y0) A(x0+a,y0), A’(x0-a,y0), O B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b) B’(x0,y0-b) |AA’|=2a |BB’|=2b y=y0 x=x0 e=c/a Ecuación de una elipse de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA HIPÉRBOLA TRASLADADA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

16 LA HIPÉRBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA
geogebra Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). P(x,y) Ecuación reducida de la hipérbola 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

17 LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICAS
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). B(0,b) Ecuación reducida de la hipérbola b c A(a,0) A’(-a,0) F’(-c,0) a C(0,0) F(c,0) Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) F(c,0) y F’(-c,0) B’(0,-b) A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) |AA’|=2a NOTA: Los focos siempre están en el eje real |BB’|=2b y=0 c x=0 b e=c/a (e>1) a 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

18 EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA
Ecuación reducida de la hipérbola Excentricidad de la hipérbola: e = 1 c=a , es decir, los focos coínciden con los vértices: Se trata de dos SEMIRRECTAS e > 1 c > a : Se trata de una HIPÉRBOLA propiamente dicha 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

19 LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante. Ecuación reducida de la hipérbola F(0,c) A(0,a) Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) c a F(0,c) y F’(0,-c) B’(-b,0) b C(0,0) B(b,0) A(0,a), A’(0,-a), B(b,0) y B’(-b,0) A’(0,-a) |AA’|=2a NOTA: Los focos siempre están en el eje real |BB’|=2b F’(0,-c) x=0 c b a y=0 e=c/a (e>1) 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

20 HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas)
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ es constante. Y B(x0,y0+b) a b c Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(x0,y0) F(x0+c,y0) y F’(x0-c,y0) A’(x0-a,y0) A(x0+a,y0) A’(x0-a,y0), F’(x0-c,y0) A(x0+a,y0), C(x0,y0) F(x0+c,y0) B(x0,y0+b) y B’(x0,y0-b) O X |AA’|=2a B’(x0,y0-b) |BB’|=2b y=y0 x=x0 e=c/a Ecuación de una hipérbola de C(x0,y0) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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HIPÉRBOLA EQUILÁTERA 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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LA PARÁBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA PARÁBOLA TRASLADADA 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

23 LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a). p V(0,0) Ecuación reducida de la parábola Vértice (0,0) y eje OX El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

24 LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICAS
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).). Ecuación reducida de la parábola Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: p eje V(0,0) V(0,0) y=0 p>0 El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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Foco: Vértice: Eje : Directriz: V(0,0) y=0 PARÁBOLAS Foco: Vértice: Eje : Directriz: V(0,0) x=0 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

26 LA PARÁBOLA TRASLADADA
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz . Y Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: V(x0,y0) y=y0 V(x0,y0) O p>0 Ecuación de una parábola de eje paralelo al eje OX El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPÉRBOLA PARÁBOLA 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana. 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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ENLACES DE TODO. TEORIA Y EJERCICIOS: CÓNICAS: FLASH: Con Geogebra: Con cABRI: 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés

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