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2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 1. 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 2 CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA. CORTES CON UN PLANO UN POCO DE HISTORIA.

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1 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 1

2 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 2 CÓNICAS SUPERFICIE CÓNICA. CORTES CON UN PLANO UN POCO DE HISTORIA LA CIRCUNFERENCIA LA ELIPSE LA HIPÉRBOLA LA PARÁBOLA PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS CÓNICAS (enlace) EJERCICIOS (Enlace) ENLACES

3 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 3 SUPERFICIE CÓNICA - CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica. e Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas : Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola

4 UN POCO DE HISTORIA Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol. Otras aplicaciones de las cónicas

5 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 5 Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F (llamados focos) es constante. Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F (llamados focos) es constante. Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz. Las Cónicas como lugar geométrico La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F)

6 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 6 LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA CIRCUNFERENCIA TRASLADADA POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA EJE RADICAL

7 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 7 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDA geogebra P(x,y) x yr Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r Ecuación reducida de la circunferencia

8 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 8 Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. LA CIRCUNFERENCIA P(x,y) x-a y r Ecuación de la circunferencia de centro (a,b) y radio r x y-b b C(a,b) Tambien: a

9 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 9 LA ELIPSE DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA ELIPSE TRASLADADA EXCENTRICIDAD

10 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 10 Ecuación reducida de la elipse LA ELIPSE. ECUACIÓN REDUCIDA Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). geogebra P(x,y) F F aa b c a b c

11 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 11 Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: a a C(0,0)A(a,0) A(-a,0) F(c,0)F(-c,0) B(0,-b) B(0,b) LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). b c a b c Ecuación reducida de la elipse C(0,0) F(c,0) yF(-c,0) A(a,0),A(-a,0), B(0,b) y B(0,-b) |AA|=2a |BB|=2b y=0 x=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor (e<1)

12 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 12 EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE Ecuación reducida de la elipse Excentricidad de la elipse: c=0, es decir, los focos coínciden: e = 0 Se trata de una CIRCUNFERENCIA c=a, es decir, los focos coínciden con los vértices: e = 1 Se trata de un SEGMENTO c < a : 0 < e < 1 Se trata de una ELIPSE propiamente dicha

13 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 13 Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: a a C(0,0) A(0,a) A(0,-a) F(0,c) F(0,-c) B(-b,0) B(b,0) LA ELIPSE. CARACTERÍSTICAS Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F(0,-c) (llamados focos) es constante (2a). b c a b c Ecuación reducida de la elipse C(0,0) F(0,c) yF(0,-c) A(0,a),A(0,-a), B(b,0) y B(-b,0) |AA|=2a |BB|=2b x=0 y=0 e=c/a NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY

14 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 14 Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: a C(x 0,y 0 ) ELIPSE TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas) Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F (llamados focos) es constante (2a). b Ecuación de una elipse de C(x 0,y 0 ) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas C(x 0,y 0 ) |AA|=2a |BB|=2b y=y 0 x=x 0 e=c/a O A(x 0 +a,y 0 ) A(x 0 -a,y 0 ) B(x 0,y 0 +b) B(x 0,y 0 -b) c F(x 0 +c,y 0 ) F(x 0 -c,y 0 ) A(x 0 +a,y 0 ), A(x 0 -a,y 0 ), B(x 0,y 0 +b) y B(x 0,y 0 -b) F(x 0 +c,y 0 ) y F(x 0 -c,y 0 )

15 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 15 LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA HIPÉRBOLA TRASLADADA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

16 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 16 Ecuación reducida de la hipérbola LA HIPÉRBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a). geogebra P(x,y)

17 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 17 Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: a C(0,0) A(a,0) A(-a,0) F(c,0)F(-c,0) B(0,-b) B(0,b) LA HIPERBOLA. CARACTERÍSTICAS b c c b a Ecuación reducida de la hipérbola C(0,0) F(c,0) yF(-c,0) A(a,0),A(-a,0), B(0,b) y B(0,-b) |AA|=2a |BB|=2b y=0 x=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre están en el eje real (e>1) Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F(-c,0) (llamados focos) es constante (2a).

18 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 18 EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA Ecuación reducida de la hipérbola Excentricidad de la hipérbola: c=a, es decir, los focos coínciden con los vértices: e = 1 Se trata de dos SEMIRRECTAS c > a : e > 1 Se trata de una HIPÉRBOLA propiamente dicha

19 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 19 Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: a C(0,0) A(0,a) A(0,-a) F(0,c) F(0,-c) B(-b,0) B(b,0) LA HIPÉRBOLA. CARACTERÍSTICAS b c C(0,0) F(0,c) yF(0,-c) Ecuación reducida de la hipérbola |AA|=2a |BB|=2b y=0 e=c/a NOTA: Los focos siempre están en el eje real Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F(0,-c) (focos) es constante. c b a A(0,a),A(0,-a), B(b,0) y B(-b,0) (e>1) x=0

20 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 20 Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(x 0,y 0 ) HIPÉRBOLA TRASLADADA (Ejes paralelos a los ejer de coordenadas) Ecuación de una hipérbola de C(x 0,y 0 ) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas C(x 0,y 0 ) |AA|=2a |BB|=2b y=y 0 x=x 0 e=c/a O A(x 0 +a,y 0 )A(x 0 -a,y 0 ) B(x 0,y 0 +b) B(x 0,y 0 -b) a b c F(x 0 +c,y 0 ) F(x 0 -c,y 0 ) A(x 0 +a,y 0 ), A(x 0 -a,y 0 ), B(x 0,y 0 +b) y B(x 0,y 0 -b) F(x 0 +c,y 0 ) y F(x 0 -c,y 0 ) Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F es constante. X Y

21 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 21 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

22 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 22 LA PARÁBOLA DEFINICIÓN GENERACIÓN CARACTERÍSTICAS ECUACIÓN REDUCIDA PARÁBOLA TRASLADADA

23 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 23 Ecuación reducida de la parábola Vértice (0,0) y eje OX LA PARÁBOLA. ECUACIÓN REDUCIDA Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). (2a). V(0,0) El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. p

24 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 24 Ecuación reducida de la parábola LA PARÁBOLA. CARACTERÍSTICAS Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2).). V(0,0) El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. p Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: V(0,0) y=0 eje p>0

25 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 25 V(0,0) y=0 Foco: Vértice: Eje : Directriz: Foco: Vértice: Eje : Directriz: V(0,0) x=0

26 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 26 Ecuación de una parábola de eje paralelo al eje OX LA PARÁBOLA TRASLADADA Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y de una recta llamada directriz. V(x 0,y 0 ) El parámetro p nos da la distancia del foco a la directriz. O Y Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: y=y 0 p>0 V(x 0,y 0 )

27 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 27 CIRCUNFERENCIA ELIPSE HIPÉRBOLA PARÁBOLA

28 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 28 Las cónicas están presente en la naturaleza y también en los inventos del hombre. Por ejemplo las trayectorias que describen el planeta Tierra, el famoso cometa Halley son de forma elíptica. Las antenas parabólicas y las ópticas de los automóviles fueron ideadas con esa forma para utilizar las propiedades de las parábolas, teniendo en cuenta que las ondas y rayos se concentran en el foco, y esto permite un mayor aprovechamiento de los mismos. Es por esto que nos parece importante aprender este tema, ya que esto nos muestra que la matemática está presente y se puede aplicar en la vida cotidiana.

29 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 29 ENLACES DE TODO. TEORIA Y EJERCICIOS: CÓNICAS: FLASH: Con Geogebra: Con cABRI:

30 2007(:)María Jesús Arruego Bagüés CÓNICAS 30 efurl=http://www.xtec.es/~cgarci38/tecnologia/construccions/gaudi1.htm&h=210&w=364&sz=20&hl=es&start=68& um=1&tbnid=aoKTWiBZHOLGQM:&tbnh=70&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D60%26n dsp%3D20%26svnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:es- ES:official%26sa%3DN media/vrml/thumbnails/hiperbola.gif&imgrefurl=http://thesaurus.maths.or g/mmkb/entry.html%3Bjsessionid%3D22B83B293E5F770268DE4BC2DE33 EDB1%3Faction%3DentryByConcept%26id%3D859&h=25&w=25&sz=2 &hl=es&start=98&um=1&tbnid=Mp1GbTdIniPemM:&tbnh=25&tbnw=25 &prev=/images%3Fq%3Dhiperbola%26start%3D80%26ndsp%3D20%26s vnum%3D10%26um%3D1%26hl%3Des%26client%3Dfirefox- a%26rls%3Dorg.mozilla:es-ES:official%26sa%3DNDN


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