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Un lenguaje decidible es aquel lenguaje L para el cual existe una maquina de Turing que le puede aceptar cualquier cadena wL. - Lenguaje aceptable: es.

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2 Un lenguaje decidible es aquel lenguaje L para el cual existe una maquina de Turing que le puede aceptar cualquier cadena wL. - Lenguaje aceptable: es aquel lenguaje L para el cual no existe ninguna máquina de Turing que puede aceptar cualquier cadena wL y rechazar cualquier cadena wL. - Lenguajes recursivamente enumerables: lenguajes estructurados por frases. - Lenguajes recursivos: lenguajes decidibles por una máquina de Turing.

3 decidible se refiere a la existencia de un método efectivo para determinar si un objeto es miembro de un conjunto de fórmulas. Un sistema lógico o teoría es decidible sintácticamente si el conjunto de todas las fórmulas válidas en el sistema es decidible. Es decir, existe un algoritmo tal que para cada fórmula del sistema es capaz de decidir en un número finito de pasos si la fórmula es válida o no en el sistema

4 Se dice que un sistema formal es decidible si existe un algoritmo que diga en tiempo finito si una cadena cualquiera es un teorema o no lo es. Problemas computables y no computables El identificar los problemas que son computables y los que no lo son tiene un considerable interés, pues indica el alcance y los límites de la computabilidad, y así demuestra los límites teóricos de los ordenadores. Además de las cuestiones sobre algoritmos, se han encontrado numerosos problemas menos "generales" que han resultado ser no computables. La mayoría de las demostraciones de no computabilidad se basan en el método de la diagonal. Como ejemplos de estos problemas podemos citar:

5 1.- El problema de la palabra para Grupos.- Dado un subconjunto S de elementos de un grupo G, se trata de decidir si una expresión compuesta por elementos de S y con las operaciones del grupo es igual al elemento neutro del grupo. Durante muchos años se buscaron ejemplos de grupos finitamente presentados para los que este problema fuese indecidible. La existencia de uno de estos grupos fué encontrada por Novikov en 1955 y por Boone en En el algebra moderna hay abundantes ejemplos de interesantes problemas no computables; una gran cantidad de ellos sobre propiedades de palabras o generadores semejantes al problema de la palabra para grupos.

6 El problema de Halting es el primer problema indecidible mediante maquinas de Turing. Equivale a construir un programa que te diga si un problema de ordenador finaliza alguna vez o no (entrando a un bucle infinito, por ejemplo) Básicamente, Turing definió las bases de las computadoras modernas y planteo un problema sobre ellas, llegando a la conclusión de que no hay ningún algoritmo que lo resuelva. Es el problema de la detención (Halting problem); el problema de saber si un problema se cuelga cuando corre en la computadora. Turing demostró que el problema de la detención es indicidible, es decir, demostró que había problemas que una maquina no podía resolver.

7 Es meritorio el hecho que gracias a la equivalencias de maquinas de Turing y computadoras, se haya determinado que existen cálculos que no pueden ser detenidos en un tiempo razonable en ninguna computadora imaginable, o incluso, que no puede resolverse en lo absoluto, por ejemplo el problema de correspondencia de Post o el problema de predecir si una maquina de Turing cualquiera va a llegar a un estado final (conocido como el problema de Halting en ingles, o problema de la parada). Por todo esto el problema de Halting es un diagnostico que indica que un problema de decisión no es decidible

8 El problema de la parada o problema de la detención para máquinas de Turing es el ejemplo de problema irresoluble más conocido. Consiste en determinar si una máquina de Turing se detendrá con cierta entrada, o bien quedará en un ciclo infinito. Este fue el primer problema que se demostró formalmente que no tenía solución.

9 Definición: Sea M una máquina de Turing arbitraria con un alfabeto de entrada Σ. Sea. ¿Puede decidirse si la máquina M se detendrá con la entrada w? Solución: La respuesta a esta pregunta es negativa. No se puede determinar si una máquina de Turing se detiene con una entrada arbitraria. Demostración: Para demostrarlo, supongamos que el problema de la parada tiene solución, es decir, supondremos que existe una máquina de Turing que es capaz de determinar si otra máquina de Turing para con una entrada determinada.

10 DECIBILIDAD DE TEORIAS LOGICAS Una teoría lógica (TL) se define a partir de un conjunto de enunciados dados llamados axiomas, unas reglas de inferencia y un esquema de derivación. A partir de los axiomas y aplicando las reglas de inferencia y el esquema de derivación se infieren los teoremas de la teoría. El conjunto de teoremas de la teoría forman un lenguaje formal.

11 Si es posible definir una máquina de Turing tal que reconozca el lenguaje de los teoremas, este lenguaje es decidible y la teoría también lo es en consecuencia. Dicho en otras palabras, si el conjunto de teoremas visto como un lenguaje es reconocido por una máquina de Turing, entonces la TL es decidible. Y viceversa. Puede hablarse entonces de manera indistinta de teorías lógicas o de lenguajes decidibles, como aquellos para los que existe una máquina de Turing capaz de reconocerlos. Luego, la correspondencia entre la sintaxis de una teoría lógica (lenguaje formal) y el reconocimiento simbólico del mismo por parte de un autómata queda establecida.


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