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Sucesiones Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ingeniería Análisis Matemático I Ing. Gladys Astargo, 2007.

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Presentación del tema: "Sucesiones Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ingeniería Análisis Matemático I Ing. Gladys Astargo, 2007."— Transcripción de la presentación:

1 Sucesiones Universidad Nacional de Cuyo - Facultad de Ingeniería Análisis Matemático I Ing. Gladys Astargo, 2007

2 G. Astargo, 2007 INTRODUCCIÓN Esta presentación se enmarca en el tema 7 del programa de Análisis Matemático I de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Cuyo. Es un resumen de los siguientes contenidos: Las sucesiones numéricas como funciones reales de dominio natural. Término general, enésimo o ley de formación. Sucesiones monótonas y sucesiones acotadas. Límite de una sucesión: definición e interpretación gráfica. Sucesiones convergentes. Convergencia de las sucesiones monótonas acotadas. El número e. El desarrollo completo está en un documento para bajar y/o imprimir en formato pdf, en la página: en Cátedras, Ciencias Básicas, Análisis Matemático I.http://fing.uncu.edu.ar

3 G. Astargo, 2007 Observa la siguiente historieta: ¡Buen día Pepe! ¿Se mejoró su hijo? ¡Buen día ingeniero! Sí gracias, está mejor Snif!!! ¡Atchis! Nos mandaron un nuevo refrigerante. Necesito que anoten la temperatura cada 3 horas. Les aviso también a los otros turnos, pero confío en usted para completar esta tabla. Ok jefe. Quédese tranquilo. Hasta luego. Cuídese que parece que su hijo lo contagió. Acuérdese del asado del sábado ¡Hasta luego!

4 G. Astargo, 2007 El ingeniero le dio a Pepe la siguiente tabla que él completó con los datos de temperatura: Y Pepe ordenó las temperaturas de mayor a menor: ¿Te parece que en este caso le servirá al ingeniero la tabla de Pepe ordenada de mayor a menor? Día 1 Día 2 h tº56,556,456,35658,65959,45856,5 56,456,158,459,259,558,156,2 Mhm! voy a hacer el trabajo bien prolijo, como le gusta al ingeniero. Día 1Día 2 h Tº59,559,459,25958,658,458,15856,5 56,4 56,356,256,1

5 G. Astargo, 2007 LAS SUCESIONES NUMÉRICAS Llamamos sucesión numérica a una función que aplica el conjunto de los números naturales en el de los reales f : N R / a n = f(n) Es un conjunto ordenado de los infinitos elementos. En símbolos: a 1 =f(1) a 2 a 3 a 4 = {a n } = {a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ;...; a n ;...} Término enésimo o general sucesión

6 G. Astargo, 2007 Ejemplo 1) Encontrar los primeros términos y graficar: {a n } = {2n – 5} y {b n } = {5 – n 2 } Para encontrar los términos reemplazamos la n por 1, 2, 3,… {a n } = {2n – 5} = {–3 ; –1 ; 1 ; 3 ;.5 ; 7 ;... } {b n } = {5 – n 2 } = {4, 1, –4, –11,…} n bnbn 1 n anan No es correcto unir los puntos con una línea Volver

7 G. Astargo, 2007 Ejemplo 2: Encontrar el término enésimo de {c n } ={0, ¾, 1, 15 / 16, ¾, 35 / 64,…} Hay dos términos iguales en distinta posición, las fracciones pueden estar simplificadas, hay que hallar las equivalentes. c 3 = 1, también puede estar simplificada. c 1 = 0 debe ser cero el numerador pero no el denominador el numerador tiene la forma n p –1 con p N. Para n–1 los numeradores serían: 0, 1, 2, 3,… NO coinciden. Para n 2 –1 los numeradores serían: 0, 3, 8, 15, 24, 35,… no se cumple para el 3º y 5º términos, que pueden están simplificados. Si para n = 3, c 3 = 8 la fracción equivalente debería ser 8 / 8 = 1. Razonando de manera parecida para n = 5 surge c 5 = 24 / 32 = 3 / 4 Con estas fracciones, el denominador parece ser 2 n. Y así: c n = Significa por lo tanto

8 G. Astargo, 2007 Sucesiones monótonas {a n } es monótona n: ( {a n } creciente {a n } decreciente ) Sucesiones crecientes y decrecientes {a n } es creciente n: a n < a n+1 {a n } es decreciente n: a n > a n+1 Observa las gráficas de las sucesiones vistas para: {a n } = {2n – 5} = {–3 ; –1 ; 1 ; 3 ;.5 ; 7 ;... } {b n } = {5 – n 2 } = {4, 1, –4, –11,…} En la primera, a medida que n crece, los términos a n también lo hacen, {a n } es una sucesión creciente. En cambio {b n } es decreciente. o en sentido excluyente Ver

9 G. Astargo, 2007 Sucesiones acotadas {an} es acotada k > 0 / n: | an | k Ej.: a n = cuando n crece los a n también lo hacen, pero con una tendencia a estabilizarse. {a n } crece pero es acotada, con cota superior 1 porque: n–3 < n+2 (n–3) / (n+2) < 1 Entonces k = 1 pues n: | a n | < 1 La cota inferior es igual ( en este caso ) al primer término: –2/3 ( porque la sucesión es monótona creciente ) n anan 1 –1

10 G. Astargo, 2007 Sucesiones convergentes {an} convergente = L Recuerda: para que exista límite éste debe ser único y finito. Si el límite no existe las sucesiones serán no convergentes. = L > 0, n 0 ( ) / n > n 0 : | an – L | < n > n 0 (infinitos) n n 0 (algunos) n anan L L+ L– n0n0

11 G. Astargo, 2007 Propiedades de los límites Teorema 1: Si = L y si f(x) = f(n) = a n cuando x es natural, entonces a n = L Este teorema nos permite aplicar los mismos procedimientos al cálculo de límites de sucesiones, que los que se usan para funciones de x. Por ello el Álgebra de los límites es muy similar. Se puede también aplicar, por ejemplo, la Regla de L`Hospital Ej.: porque Teorema 2: Del emparedado Tiene el mismo significado que para funciones de variable real

12 G. Astargo, 2007 Convergencia de las sucesiones monótonas acotadas Si una sucesión es monótona creciente y tiene cota superior, es convergente 1 n anan n anan 1 1 –1 L k a n {a n } no es acotada {a n } no es convergente {a n } tiene cota superior k L k {a n } converge

13 G. Astargo, 2007 Si una sucesión es monótona decreciente y tiene cota inferior, es convergente Convergencia de las sucesiones monótonas acotadas 1 n anan a n - {a n } no es acotada {a n } no es convergente {a n } tiene cota inferior k L k {a n } converge n anan 1 1 L k

14 G. Astargo, 2007 Convergencia de las sucesiones monótonas acotadas Las dos anteriores se reúnen en una única propiedad: Si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente Analiza si las siguientes proposiciones son V o F: Si una sucesión es monótona, entonces es convergente. Si una sucesión es acotada, entonces es convergente. Si una sucesión es convergente, entonces es acotada. Si una sucesión es convergente, entonces es monótona.

15 G. Astargo, 2007 El número e Se puede demostrar que la sucesión: {a n } = = {2; 2,25; 2,37…; 2,44…; 2,48832;… } es monótona creciente y tiene cota superior, por lo tanto tiene límite y es convergente. A ese límite lo llamamos e Encontrarás desarrollos más completos en el documento en formato pdf en la misma página:


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