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Materia Matemáticas Tema 1 Curso Nivel II Números Racionales.

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1 Materia Matemáticas Tema 1 Curso Nivel II Números Racionales

2 En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). númerococientedenominadorcerofracciónnúmerococientedenominadorcerofracción El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional. El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional. Números Racionales

3 O cuando tardamos media hora en hacer los deberes, En estas situaciones estamos utilizando las fracciones. Cuando decimos que nos hemos comido las tres cuartas partes de un pastel, Números Racionales

4 Términos de una fracción Términos de una fracción. Recuerda que ya hemos estudiado lo que es una fracción. a Si tenemos dos números a y b, y b 0, entonces la expresión ----es una fracción. b b b se llama denominador de la fracción, y nos indica en cuántas partes se divide la unidad. a se llama numerador de la fracción, y nos indica cuántas partes tomamos. NUMERADOR a NUMERADOR ------------------ DENOMINADOR b DENOMINADOR Números Racionales

5 1) Dividimos 10 entre 5 y multiplicamos el resultado por 2 10 : 5 = 2 2. 2 = 4 2) Multiplicamos 10 por 2 y dividimos el resultado entre 5. 10. 2 = 20 20 : 5 = 4 Fracción de un número. Si queremos calcular cuanto valen los 2 / 5 de 10, ¿ Cómo lo hacemos? Para calcularlo, lo puedes hacer de dos formas distintas : Números Racionales

6 Tipos de Fracciones: Propias e Impropias. Dentro de las fracciones podemos distinguir tres tipos diferentes: Fracciones que tienen el numerador igual al denominador: 3 5 9 456 ------, --------, -------, --------, 3 5 9 456 Todas estas fracciones son iguales a la unidad: UNIDADUNIDAD Números Racionales

7 Fracciones que tienen el numerador menor que el denominador: 2 1 5 4 21 ------, --------, -------, --------, ---------- 3 4 7 9 47 más pequeñas Todas estas fracciones son más pequeñas que la unidad. 2 Por ejemplo ---- 3 Si la representamos gráficamente: 2/3 fracciones propias Este tipo de fracciones se llaman fracciones propias. Números Racionales

8 Fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador: 4 5 74 7 9 ------, --------, -------, --------, ----------, --------- 3 3 9 5 4 Todas estas fracciones son mayores que la unidad. 4 Por ejemplo ------ 3 Si la representamos gráficamente: 1 Unidad 1 Unidad Este tipo de fracciones se llaman fracciones impropias. 3/3 + 1/3 Números Racionales

9 Numero Mixtos. Como acabas de ver, las fracciones impropias son mayores que la unidad Las fracciones impropias las podemos escribir como suma de un número natural y una fracción. 4 3 1 1 5 4 1 1 4 3 1 1 5 4 1 1 ------ = -------- + ------- = 1 + ------ ------- = ------ + ------ = 1 + ----- 3 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 También podemos escribirlas de la siguiente forma. 4 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- ------ = 1 + ------- = 1 ------- 3 3 3 3 3 3 5 1 1 5 1 1 ------ = 1 + ------- = 1 ------- ------ = 1 + ------- = 1 ------- 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ------ y 1 ------- 3 4 3 4 son números mixtos, y se leen uno y un tercio y uno y un cuarto son números mixtos, y se leen uno y un tercio y uno y un cuarto Números Racionales

10 Fracciones Equivalentes. a c a c Si dos fracciones ----- y ------ son equivalentes, entonces se verifica b d que a. d = b. c Los productos a. d y b. c se llaman productos cruzados. Se llaman productos cruzados porque lo que en realidad hacemos es cruzar los numeradores y denominadores de las dos fracciones. a c a c ------ = ---- a. d = b. c ------ = ---- a. d = b. c b d b d Luego, podemos decir que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales. Números Racionales

11 Si las fracciones no son equivalentes, entonces los productos cruzados son diferentes a. d b. C 3 4 Por ejemplo : ------ y ---- 2 5 3. 5 = 15 2. 4 = 8 Comprobamos que 15 8 Entonces decimos que las fracciones no son equivalentes Números Racionales

12 Comprobación y Ordenación de Fracciones. a c Si tenemos dos fracciones ---- y ---- b d ¿ cómo podemos saber cuál de ellas es la menor y cuál la mayor? Recuerda que si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tienen mayor numerador. 2 3 3 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ > ----- 5 5 5 5 Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 2 2 2 2 Por ejemplo : ------ y ---- ------ < ----- 4 3 4 3 Números Racionales

13 suma y resta con: a) Mismo Denominador: Cuando tenemos dos fracciones con el mismo denominador. a c ---- y ---- b b Podemos sumarlas sumando sus numeradores, y dejando el mismo denominador. a c a + c ------ + ---- = -------- b b b 3 2 3+ 2 5 ------ + ------ = -------- = ----- 7 7 7 7 Números Racionales

14 O también podemos restarlas de la misma forma. a c a - c ----- - ---- = -------- b b b 3 2 Por ejemplo ------ y ----- 7 7 3 2 3 - 2 1 ------ - ---- = -------- = ----- 7 7 7 7 Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador. Números Racionales

15 b) Distinto Denominador. Para sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador. Si no lo tiene, debemos buscar fracciones equivalentes, hasta que éstas tengan el mismo denominador 3 4 Por ejemplo ------ y ----- 5 2 Números Racionales

16 3 6 ------ = ----- 5 10 4 8 12 16 20 ------ = ----- = ----- = ------ = ------- 2 4 6 8 10 4 3 20 6 20 + 6 26 ------ + ----- = ----- + ------ = ----------- = ------- 2 5 10 10 10 10 4 3 20 6 20 – 6 14 ------ - ----- = ----- - ------ = --------- = ------ 2 5 10 10 10 10 Números Racionales

17 Para hallar fracciones con distinto denominador, podemos usar el método del mínimo común múltiplo de los denominadores ( m. c. m. ) Números Racionales

18 1 2 3 Tenemos las fracciones ----, -----, ------ 2 3 4 1)Calculamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. ( 2, 3, 4 ) = 2. 2. 3 = 12 2) Multiplicamos el numerador de cada fracción por el cociente de dividir el m.c.m. por el denominador de esta fracción. 1 1 6 ------ 12 : 2 = 6 ; 6. 1 = 6 ------ = ------ 2 2 12 2 2 8 ------ 12 : 3 = 4 ; 4. 2 = 8 ------ = ------ 3 3 12 3 3 9 ------ 12 : 4 = 3 ; 3. 3 = 9 ------ = ------ 4 4 12 Números Racionales

19 6 8 9 1 2 3 A si, las fracciones ------, ----- y ----- son equivalentes a ----, ---- y ----- 12 12 12 2 3 4 y tienen el mismo denominador, luego podemos sumarlas y restarlas. 1 2 3 6 8 9 6 + 8 + 9 23 ------ + ----- + ----- = ------ + ------ + ----- = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12 1 2 3 6 8 9 6 + 8 - 9 5 ------ + ----- - ----- = ------ + ------ - ------ = ------------ = ----- 2 3 4 12 12 1 2 12 12 Números Racionales

20 Multiplicación y División a c Para multiplicar las fracciones ------ y -----, hacemos b d a c a. c ------. ---- = ---------- b d b. d Al multiplicar dos fracciones, obtenemos otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores. Números Racionales

21 Por ejemplo: 1 2 1. 2 2 ------. ----- = -------- = ------ 3 5 3. 5 15 a c Para dividir dos fracciones ---- y ----, hacemos b d a c a d a. d ---- ---- = -----. ------- = ---------- b d b c b. c Números Racionales

22 Dividir dos fracciones es lo mismo que multiplicar la primera de ellas por el inverso de la segunda. Por ejemplo: 3 2 3 5 3. 5 15 ------ ----- = -----. ---- = ---------- = ------ 2 5 2 2 2. 2 4 También podemos hacer el producto cruzado de las fracciones, que consiste en multiplicar el numerador de cada una de las fracciones por el denominador de la otra. a c a. d ---- : --- = --------- b d b. C Por ejemplo: 3 2 3. 5 15 ---- : --- = --------- = ------ 2 5 2. 2 4 Números Racionales


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