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PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2013 CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS.

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1 PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS

2 CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO CÍRCULO.- Es el conjunto formado por la unión de la circunferencia y su región interior.

3 ELEMETOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1.- CENTRO.- Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia Centro

4 2.- RADIO.- Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia y se representa por R o r O R A OA : RADIO

5 3.- DIÁMETRO.- Es el segmento que une los dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio A B R R O AB = 2R AB : DIÁMETRO

6 4.- TANGENTE.- Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia O T Punto de tangencia L

7 5.- SECANTE.- Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos O P Q L

8 6.- CUERDA.- Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es la circunferencia. O P Q PQ: CUERDA

9 7.- ARCO.- Es una porción de la circunferencia comprendido entre dos puntos. A B ARCO:=AB

10 8.- FLECHA o SAGITA.- Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio. O N M P Q

11 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita Diámetro AB ( ) Centro T Punto de tangencia Q P Radio Arco BQ Cuerda PQ

12 PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.- El radio es perpendicular a la recta tangente. R L

13 02.- Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes. A B C D

14 03.- Un radio perpendicular a una cuerda, divide la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes P Q M N R O

15 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D O

16 05.- Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes. O A B C Si o es centro entonces AO es bisectriz del BAC

17 06.- Las cuerdas equidistantes del centro son congruentes. O B A C D d1d1 d2d2

18 TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio

19 TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito

20 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS r R La distancia entre los centros es cero 1.- Dos circunferencias se dicen concéntricas cuando poseen un centro común y sus radios son diferentes, siendo interior la de radio menor; y exterior la que posee el radio mayor.circunferencias centro radios

21 R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + r Rr

22 d = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)

23 d R d = R - r 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d: Distancia entre los centros R r Punto de tangencia

24 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r ( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)

25 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d 2 = R 2 + r 2 Distancia entre los centros (d) r R

26 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R - r d: Distancia entre los centros

27 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PB A B P R R

28 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CD A BC D R R r r

29 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB = CD A B C D R R r r

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