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LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS. Otros elementos de la circunferencia A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita T Punto de tangencia.

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1 LA CIRCUNFERENCIA SUS ELEMENTOS Y ÁNGULOS

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3 Otros elementos de la circunferencia A B M N Recta tangente Recta secante Flecha o sagita T Punto de tangencia Q P Arco BQ Cuerda PQ

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6 PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

7 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

8 Si : AB // CD m AC = m DC 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B C D

9 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentesArcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro

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11 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. r R d = Cero ; d : distancia

12 R r Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + r Rr

13 d = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. r R R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)

14 d R d = R - r 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d: Distancia entre los centros R r Punto de tangencia

15 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r ( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)

16 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d 2 = R 2 + r 2 Distancia entre los centros (d) r R

17 07.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. R r d d < R - r d: Distancia entre los centros

18 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PB A B P R R

19 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CD A BC D R R r r

20 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB CD A B C D R R r r

21 TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio

22 TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito

23 TEOREMA.- En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los ángulos opuestos son suplementarios α + = 180º + = 180º α + = 180º + = 180º Cuadrilátero inscrito

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25 ÁngulosCaracterísticas El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia. El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia. El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes. El vértice del ángulo semi-inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia. El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser: Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentes Ángulo central Ángulo interior Ángulo inscrito Ángulo semi- inscrito Ángulos exteriores

26 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r r = mBA

27 A B C 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

28 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C

29 A B C 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

30 A C B D 5.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

31 A B C O 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. + mBA = 180°

32 A B C O D b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

33 A B C O c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

34 Algunas propiedades importantes……. 1.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia 2.- Si de un punto ¨P¨ exterior a una circunferencia. Se dibujan 2 segmentos tangentes a la circunferencia llamados PA y PB, estos segmentos resultan congruentes P A B O P B A AB OP PA PB

35 Algunas propiedades importantes…… Todo diámetro perpendicular a una cuerda es simetral y bisectriz del ángulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda. 4.- En toda circunferencia a ángulos del centro congruentes le corresponden cuerdas y arcos congruentes. O CD B A A D C B O AB CD AB CD entonces: a)CE ED b) COE EOD E

36 Algunas propiedades importantes…….. 5.-En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro. 6.- Los arcos comprendidos entre rectas paralelas o cuerdas paralelas son congruentes. A B C D O A B CD AB CD OE = OF AB // CD arc AB arc CD

37 7.- Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 180º 90º Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo diámetro, son rectos. Teorema de Thales Algunas propiedades importantes……..

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39 Si desde un punto exterior P se trazan dos rectas tangentes a la circunferencia PA y PB. Entonces al unir dicho punto exterior con el centro de una circunferencia O, se determina que m 1 = m 2 y que PB PA. Teorema 1

40 TEOREMA 2 Al trazar dos secantes desde un punto exterior, el producto de un segmento secante con su respectivo segmento exterior es igual al otro segmento secante con su respectivo segmento exterior.

41 Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante, entonces: El cuadrado del segmento tangente en igual al producto del segmento secante por el segmento exterior.

42 Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia: El producto de los dos segmentos formados por una cuerda y el punto de intersección es igual al producto de los segmentos formados por la otra cuerda y el punto de intersección.

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44 50° 70º+x X R S Q 140° 2X X + (X+70) + 50° = 180° X = 30° Por ángulo semi-inscrito PQS Problema Nº 01 RESOLUCIÓN P Reemplazando: En el triángulo PQS: Resolviendo la ecuación: PSQ = x Se traza la cuerda SQ Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco SR mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.

45 20° 70° X X = 40° R Q H En el triángulo rectángulo RHS 140° Se sabe que: Por ángulo inscrito Problema Nº 02 RESOLUCIÓN P S m S = 70º Resolviendo: mQR = 140° Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco RQ se ubica un punto S, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR. mQsR = 220°

46 x 130° A C B D X = 40° 50° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN P Resolviendo: APD = x Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior mBC = 50° Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

47 x X = 18° M N 54° x x Problema Nº 04 RESOLUCIÓN P A B APN = x Se traza el radio OM: o Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco Medida del ángulo exterior Resolviendo: En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto P, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco NA mide 54º. Calcule la m APN.

48 x 70° Medida del ángulo inscrito: X = 55° A B C P Q R 110° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Resolviendo: 70° + mPQ = 180° mQP = 110° En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos P, Q y R respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m PRQ.

49 Calcule la medida del ángulo X. Problema Nº 06 70° B A X P Resolución

50 RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Medida del ángulo inscrito: 70° B A X P C 140º 220º- 140º = x 2 Resolviendo: X = 40º mBA=140º 220º

51 Calcular la medida del ángulo x Problema Nº 07 B A X P 130º Resolución

52 RESOLUCIÓN B A X P 130º C Medida del ángulo inscrito: En la circunferencia: 260º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º mAB = 260º mACB = 100º mACB + x = 180º 260º + mACB = 360º

53 Calcule el perímetro del triángulo ABC. Problema Nº A B C Resolución

54 Teorema de Poncelet: a + b = (2) Luego el perímetro: (p) = a + b + 10 = (p) = 24 RESOLUCIÓN A B C a b a + b = 14 (1) (2) Reemplazando (1) en (2) (p) =

55 X PLANTEAMIENTO Q R S 80º P a a Problema Nº 09 Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos QS y SR sean congruentes. Si el arco RQ mide 80º, calcular m QPR. Resolución

56 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X = 30º En la circunferencia: RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a a

57 P Q R S 2 3 PLANTEAMIENTO Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Resolución

58 Teorema de Poncelet: a b c d PQR a + b = PR+2(3) + a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm Dato: a + b + c + d = 22cm PSR c + d = PR+2(2) 22 = 2PR + 10 RESOLUCIÓN P Q R S = 2PR

59 Primero: debemos encontrar el valor X. Como ya sabemos que los radios de una circunferencia son iguales formulamos la siguiente ecuación: 2X = 20, por lo tanto X = 10. Al saber que X = 10, determinamos que AP =30. Según la propiedad AP = BP, por lo tanto BP también vale 30, así obtenemos los valores de AP y BP. Segundo: Se quiere encontrar el valor del ángulo 1. Si observamos bien el arco AC es igual a 50°, por lo tanto el AOP también es igual a50°. Y como OAP es igual a 90°, podemos formular la siguiente ecuación: 90° + 50° + APO = 180°, por lo tanto APO = 40° Según la propiedad OP es bisectriz, por el APO es igual al OPB, también vale 40°- Problema Nº 11 Encuentra los valores de PA, PB y la medida del ángulo 1

60 Primero. Se quiere encontrar el valor de X. Para lo cual debemos encontrar el valor Y. Como AP es igual a 40, podemos determinar y según la siguiente ecuación: 3Y + Y = 40, por lo tanto obtenemos que Y = 10. De esta manera sabemos los valores de AB = 30 y BP = 10 Segundo. Se quiere encontrar el valor de X. Según la propiedad AP BP = DP CP, por lo tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: = (X + 6) 6, de esta manera obtenemos que X es igual a Problema Nº 12 Encuentra los valores de X e Y

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