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EII-405 Investigación de operaciones1 Planteo de Problemas de Programación Lineal.

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1 EII-405 Investigación de operaciones1 Planteo de Problemas de Programación Lineal

2 EII-405 Investigación de operaciones2 Modelo General de Programación Lineal MAX z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n s.a. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a 31 x 1 + a 32 x a 3n x n b 3... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 con j:1.. n

3 EII-405 Investigación de operaciones3 Algunas Modificaciones al Modelo General 1Restricciones de mayor o igual ( >= ) 2Restricciones de igualdad ( = ) 3Función objetivo : minimizar (MIN Z)

4 EII-405 Investigación de operaciones4 Ejemplo 1 Problema de la dieta. Se requiere determinar la dieta que entregue un costo mínimo en base a los alimentos indicados, y que cumpla con los requerimientos nutricionales establecidos en la tabla. Los aportes nuticionales y costo de los alimentos son: Leche (Lts) Legumbre (1 porción) Naranjas (unid.) Necesidad nutricional Niacina (mg) Tianina (mg) Vit. C (mg) Costo (M$)

5 EII-405 Investigación de operaciones5 Variables de decisión: x: Litros de leche utilizados en la dieta. y: Porciones de legumbre utilizados en la dieta. z: Unidades de naranjas utilizados en la dieta. Función objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por F = 2 x y z Ejemplo 1

6 EII-405 Investigación de operaciones6 Ejemplo 1 Restricciones del problema: 3.2 x y z 13.0 (Req. de Niacina) 1.1 x y z 1.5 (Req. de Tiamina) 32.0 x z 45.0 (Req. de Vitamina C) x, y, z 0

7 EII-405 Investigación de operaciones7 Ejemplo 2 Problema de transporte. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc.), de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Supongamos que una empresa posee 2 plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a 3 centros de distribución, con demandas de 200, 200, y 250 unidades respectivamente. Los costos unitarios de transporte son:

8 EII-405 Investigación de operaciones8 Ejemplo 2 C.D. 1 ($/Unid.) C.D. 2 ($/Unid.) C.D. 3 ($/Unid.) Planta Planta Planta 1 Planta 2 C.D. 1 C.D. 2 C.D x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23

9 EII-405 Investigación de operaciones9 Ejemplo 2 Variables de decisión: x ij : unidades transportadas desde la planta i hasta el centro de distribución j con: i=1,2 j=1,2,3 Función objetivo: Minimizar el costo de transporte. F= 21 x x x x x x 23

10 EII-405 Investigación de operaciones10 Ejemplo 2 Restricciones de demanda. x 11 + x 21 = 200(C.D. 1) x 12 + x 22 = 200(C.D. 2) x 13 + x 23 = 250(C.D. 3) Restricciones de oferta. x 11 + x 12 + x (Planta 1) x 21 + x 22 + x (Planta 2) Restricción de no negatividad. x ij 0 (enteros)

11 EII-405 Investigación de operaciones11 Ejemplo 3 Problema de selección de procesos y elaboración de productos. Consideremos un problema que consiste en la elaboración de 3 productos, que pueden ser elaborados de maneras distintas, haciendo uso de ciertas máquinas y ciertas capacidades máximas de utilización. Los parámetros del modelo son: Prod. 1Prod. 2Prod. 3 Cap. Máx. (hrs.) a bab Máq. A Máq. B Máq. C65159

12 EII-405 Investigación de operaciones12 Ejemplo 3 El problema consiste en determinar cuántas unidades elaborar de cada producto, en cada proceso, considerando beneficios netos de M$4, M$3 y M$6 para los productos 1, 2, y 3 respectivamente. Se supone que todo lo que se fabrica se va a vender. Variables de decisión: x 1a : unidades elaboradas del producto 1 en el proceso a. x 1b : unidades elaboradas del producto 1 en el proceso b. x 2 : unidades elaboradas del producto 2. x 3a : unidades elaboradas del producto 3 en el proceso a. x 3b : unidades elaboradas del producto 3 en el proceso b.

13 EII-405 Investigación de operaciones13 Ejemplo 3 Función objetivo: Maximizar los beneficios totales. F= 4( x 1a + x 1b ) + 3 x ( x 3a + x 3b ) Restricciones del problema: Restricciones de capacidad máxima. 2 x 1a + 2 x x 3a + 2 x 3b 100(Máq. A) 4 x 1b + 7 x x 3a + x 3b 200 (Máq. B) 6 x 1a + 5 x 1b + x x 3a + 9 x 3b 100(Máq. C) x 1a, x 1b, x 2, x 3a, x 3b 0

14 EII-405 Investigación de operaciones14 Ejemplo 4 Planificación de turnos. Una aerolínea tiene abierta una oficina de reservas telefónicas las 24 hrs. del día, todos los días, y el número de agentes necesarios en cada uno de los siguientes horarios son: Períodos Nº requerido de agentes 12 am - 4 am11 4 am - 8 am15 8 am - 12 pm31 12 pm - 4 pm17 4 pm - 8 pm25 8 pm - 12 am19

15 EII-405 Investigación de operaciones15 Ejemplo 4 Se sabe que los agentes hacen turnos de 8 horas consecutivas, y en todos los peridos (cada 4 horas) pueden ingresar personas a un nuevo turno. La empresa desea conocer el mínimo número de personas a contratar en cada turno que permita cumplir con el número de agentes requerido en cada periodo.

16 EII-405 Investigación de operaciones16 Ejemplo X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 X6X6 X6X6 Horas Requerimiento

17 EII-405 Investigación de operaciones17 Ejemplo 4 Variables de decisión: x i : Nº de turnos requeridos al inicio del período i. Función objetivo: Minimizar los turnos requeridos. F= x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6

18 EII-405 Investigación de operaciones18 Ejemplo 4 Restricciones del problema: x 1 + x 2 15 x 2 + x 3 31 x 3 + x 4 17 x 4 + x 5 25 x 5 + x 6 19 x 6 + x 1 11 x i 0 (entero)

19 EII-405 Investigación de operaciones19 Ejemplo 5 Problema de producción con etapas en serie En una planta se fabrican los productos R y T. Para fabricar estos productos se deben realizar las etapas de colado, maquinado y ensamble. Para el colado del producto T se usan 2 kgs del material K, y el colado de producto R puede obtenerse con 4 kgs de material L, o con 6 kgs de material K. Se dispone de kgs de material L y kgs de material K. El material L cuesta $10 por kg, y el material K cuesta $20 el kg. El departamento de colado puede colar unidades de producto (R o T). En el area de maquinado se dispone de 200 horas-máquina (h-m). El maquinado del producto T requiere 6 minutos de maquinado por unidad, y el producto R requiere 8 minutos si fue colado con L, y 10 minutos si fue colado con K.

20 EII-405 Investigación de operaciones20 Ejemplo 5 El departamento de ensamble puede armar un total de unidades de producto (R o T). Los costos variables de colado son de $1 por unidad, y los de maquinado son de $ 0,2 por minuto, para ambos productos. Los costos variables de ensamble son despreciables. El producto R se vende a $10 la unidad, y el producto T a $ 12 la unidad. Además, para el producto T existe la posibilidad de comprar la pieza ya colada a una planta externa, a un costo de $6 por unidad. Determine el programa de producción que máximiza los ingresos y minimiza los costos, si se sabe que existe una gran demanda de estos productos, por lo cual se venderá todo lo producido.

21 EII-405 Investigación de operaciones21 Ejemplo 5 COLADOMAQUINADOENSAMBLE L KT (colado) RT

22 EII-405 Investigación de operaciones22 Ejemplo 5 Disponibilidad de materiales y capacidad de procesos: R K R L TT C Capacidad Mat K (kgs) Mat L (kgs) Colado (unidades) Maquinado (minutos) Ensamble (unidades) Costo de comprar T ya colado : 6 $/unid

23 EII-405 Investigación de operaciones23 Ejemplo 5 Costo de materiales y costo variable procesos: Mat K20$/kgs Mat L10$/kgs Colado1$/unid Maquinado0,2$/min Ensamble--$/unid Precio de venta T :12 $/unid Precio de venta R :10 $/unid

24 EII-405 Investigación de operaciones24 Ejemplo 5 Variables de decisión: R K :unidades producidas de R con material K R L :unidades producidas de R con material L T :unidades producidas de T con material K R C :unidades producidas de T con colado comprado R K, R L, T, T C >=0 Nota : Unidades producidas son iguales a las unidades vendidas, porque existe alta demanda

25 EII-405 Investigación de operaciones25 Ejemplo 5 Función objetivo: MAX (ingresos por venta - costo de materiales - costos variables - compra T ya colado) Ingresos por venta = 10 (R K + R L ) + 12 (T + T C ) Costo materiales = 20 (6 R K + 2 T) + 10 ( 4 R L ) Costo variable = 1 (R K + R L + T) + 0,2 (10 R K + 8 R L + 6 T +6 T C ) Costo compra T ya colado = 6 T

26 EII-405 Investigación de operaciones26 Ejemplo 5 Restricciones de materiales: 6 R K + 2 T <= (material K) 4 R L <= (material L) Restricciones de procesos: R K + R L + T<= 3.000(colado) 10 R K + 8 R L + 6 T + 6 T C <= (maquinado) R K + R L + T + T C <= 6.000(ensamble)

27 EII-405 Investigación de operaciones27 Ejemplo 6 Problema de producción con minimización de pérdidas Se dispone de 20 toneladas de duraznos que pueden ser usados para fabricar mermelada o envasarlos en conserva. Para fabricar una tonelada de mermelada se requiere 0,6 ton de duraznos, y para envasar frascos se requiere 0,5 ton de duraznos. Además, para una tonelada de mermelada se necesita 0,4 ton de azucar, y se requiere un frasco por cada unidad envasada (se asume que no hay pérdidas de frascos). Actualmente se dispone de 5 toneladas de azúcar y frascos.

28 EII-405 Investigación de operaciones28 Ejemplo 6 Se sabe que cada tonelada de mermelada producida genera una utilidad de M$ 500, y por cada frasco se obtiene una utilidad de $250. Además, los duraznos que no se alcancen a procesar por falta de insumos (azucar o frascos) se pierden, y se sabe que el costo de cada tonelada de durazno perdida es de M$ 70. Se pide determinar la cantidad de mermelada y conservas a producir, de manera que se obtenga la máxima utilidad, después de descontar el costo de la fruta perdida.

29 EII-405 Investigación de operaciones29 Ejemplo 6 Variables de decisión: M :toneladas de mermelada producida C :miles de frascos de conserva envasados M, C >= 0

30 EII-405 Investigación de operaciones30 Ejemplo 6 Función objetivo: MAX Utilidades de mermelada y conservas producidos -- Costos por pérdida de fruta Utilidades por mermelada = M Utilidades por conservas = C Costo por fruta perdida = x Toneladas perdidas Toneladas perdidas = Ton totales - ton procesadas (merm y cons) = 20 - ( 0,6 M + C/2 )

31 EII-405 Investigación de operaciones31 Ejemplo 6 Función objetivo: MAX M C x (20 - ( 0,6 M + C/2 ) MAX M C M C MAX M C

32 EII-405 Investigación de operaciones32 Ejemplo 6 Restricciones de disponibilidad de insumos: 0,6 M + C/2 <= 20(tons de duraznos) 0,4 M<= 5(tons de azúcar) C <= 40 (miles de frascos)


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