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INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL.

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Presentación del tema: "INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL."— Transcripción de la presentación:

1 INVESTIGACIÓN OPERATIVA Curso 2003/2004 ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL

2 Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA 1.Introducción. Relación con la Programación Lineal Continua 2.Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva mediante modelos de análisis envolvente de datos (DEA). 3.Formulación de problemas de programación entera y mixta. Aplicaciones. 4.Algoritmos de solución 5.Implementación informática 6.Estudios de casos reales de aplicación

3 1.Introducción. Programación Lineal Continua Objetivos: minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo desigualdad o igualdad. Llamamos vector factible al conjunto de valores que satisfacen todas las restricciones. Resolución: consiste en encontrar aquel valor del vector factible que minimiza/maximiza la función objetivo solución óptima.

4 Formulación del problema Función objetivo: Max(Min) Z=c 1 x 1 +c 2 x c n x n Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones) s.aa 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 +a m2 x a mm x n = b m Otras restricciones características del tipo de variables x 1,x 2,...x n 0 Variables de decisión (incógnitas) x j (j=1,2,....n) Recursos disponibles (datos) b 1,b 2,...b m Coeficientes tecnológicos a ij, c j (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)

5 Ejemplo1 X 1 cantidad de producto 1 X 2 cantidad de producto 2 PlantaCapacidad usadaCapacidad disponible Producto 1Producto Ganancia 3 5

6 Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de proteinas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita. ALIMENTOPORCIONVITAM. ACALCIOPROTEINASMINERALESCOSTOKALORIAS LECHE1 TAZA $ 560 HUEVO2 PIEZAS $ 750 ESPINACAS1 RACION $ 2 CHULETAS2 CHULETS $45175 PESCADO1 MOJARRA $60150 PASTEL2 REB $50200

7 Ejercicio 2 La cadena de restaurantes California, que trabaja 24 h. al día, ha abierto un nuevo restaurante en Las Palmas, y por ello requiere contratar camareros. El administrador ha dividido las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero trabaja 3 horarios consecutivos, formular el problema de P.L. que determine el mínimo número de camareros por contratar. Horario mínimo camareros

8 Ejercicio 3 Una empresa determinada tiene disponible un millón de euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea invertir: PROYECTOCOSTOUTILIDAD Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo total del mismo, formular el modelo P.L. que defina la mejor inversión para la empresa.

9 Métodos de resolución: Método Gráfico Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables. Max Z= X1+1.4X2 S.a X1+0.5X2 6, 0.5X1+X2 6, X1+X X1+X2 9 X1,X2 0

10 Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1: Max Z=3x 1 +5x 2 s.a. x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1,x 2 0

11 Métodos de resolución: Método Simplex Suposiciones: 1.El conjunto formado por las restricciones es convexo 2.La solución siempre ocurre en un punto extremo 3.Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes Método: Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función objetivo Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar otro punto. Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la solución, nos hallamos en el óptimo.

12 Programación Lineal Entera De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras (número de personal a contratar). Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al problema Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución inicial. Si esta es entera (final) Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un variable que presenta solución no entera y divide el problema en dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex

13 Programación Lineal Binaria De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) Ejercicio 3 Max Z=325x x 2 +95x 3 +11x x 5 s.a500x x x x x Resolución: Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)

14 Programación Multiobjetivo En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar: Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población minimizando los costes de implantación de una determinada política El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas MaxZ1=2x 1 -x 2 +95x 3 +11x x 5 MaxZ2=-x 1 +5x 2 s.ax 1 +x 2 8 -x 1 +x 2 3 x 1 6, x 2 4, x 1,x 2 0

15 Análisis Envolvente de Datos (DEA)


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