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INVESTIGACION OPERATIVA Algoritmo Transporte (Programación Entera) Enero 2009.

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Presentación del tema: "INVESTIGACION OPERATIVA Algoritmo Transporte (Programación Entera) Enero 2009."— Transcripción de la presentación:

1 INVESTIGACION OPERATIVA Algoritmo Transporte (Programación Entera) Enero 2009

2 Problema de Transporte Planificación de la distribución de bienes y servicios de diferentes puntos de oferta a varios puntos de demandas. La cantidad de bienes disponibles en las ofertas (orígenes) son limitados y la cantidad de bienes necesarios en las demandas (destinos) son conocidos. El objetivo del problema de transporte es minimizar el costo de trasladar los bienes de los orígenes a los destinos.

3 Problema de Transporte Se tiene la siguiente formulación como PPL: Minimización del Costo de Transporte. Cada Origen tiene una Oferta Limitada Cada Destino tiene una Demanda a Satisfacer Se debe cumplir que: S i y D j Z 0 + x ij Z 0 +

4 Problema de Transporte Se debe cumplir la Propiedad de Integralidad, debido a la estructura especial de los Problemas de Transporte; donde S i, D j y x ij pertenezcan a los Números Enteros No es necesario colocar al PPL una restricción de valores enteros. Se debe cumplir la Propiedad de Soluciones Factibles, para ello es necesario: Donde la Oferta Total es igual a la Demanda Total. En caso de haber un desequilibrio, es necesario adicionar un origen (o destino) ficticio Holgura o insatisfacción de bienes.

5 Problema de Transporte Para resolver este tipo de problemas se ha ideado un algoritmo especial denominado SIMPLEX SIMPLIFICADO, que cuenta con las siguientes características: Permite ahorrar tiempo y esfuerzo. Pero para aplicarlo es necesario: 1)Contar con una Solución Básica Inicial (S.B.I.) 2)Probar la Solución para determinar si es óptima. 3)Mejorar la Solución cuando no es óptima. 4)Repertir los pasos (2) y (3) hasta alcanzar la solución óptima.

6 Problema de Transporte Tabla: c 11 c 12 … c 1n S1u1 c 21 c 22 … c 2n S2u2 ……………… c m1 c m2 … c mn Smum D1D2…Dn v1v2…vn 1 2 ORIGEN m Dda. vj 1 2 DESTINO n Oferta ui

7 Problema de Transporte Si se tiene a x ij dentro de la celda (i,j) con un valor diferente de cero, se tiene que es una VARIABLE BASICA. (c ij – u i – v j = 0) Costo Reducido Si se tiene la celda (i,j) vacía quiere decir que la variable x ij es una VARIABLE NO-BASICA. (c ij – u i – v j > 0) Costo Reducido c ij x ij c ij Número de Variables Básicas : m + n – 1 Como se tiene m ofertas y n demandas se pierde un grado de libertad al tener que cumplir con la Propiedad de Soluciones Factibles.

8 Problema de Transporte Como se mencionó anteriormente para resolver el Problema de Transporte, mediante el Simplex Simplificado es necesario una S.B.I. Para obtener una S.B.I., se puede recurrir a los siguientes métodos: Esquina Noroeste (N-W) Método del Costo mínimo Método de Vogel Cada método tiene características que lo hacen particular en función de sus ventajas y desventajas de usarlo. El método N-W es muy rápido; pero no se tiene certeza que tan cerca se está del programa óptimo. El método de Vogel es más demoroso; pero se puede estar seguro que se aproximó considerablemente al programa óptimo.

9 Problema de Transporte (Ejercicio) Supongamos que una empresa tiene que transportar desde sus dos plantas, ubicada en ciudades diferentes sus productos hacia cuatro destinos establecidos en diferentes ciudades. La capacidad de producción de cada planta está dada por los siguientes antecedentes: Planta Nº1: 15 [en miles de unidades] Planta Nº2: 13 [en miles de unidades] La demanda de cada destino está dada por los siguientes antecedentes: Destino Nº1: 9 [en miles de unidades] Destino Nº2: 6 [en miles de unidades] Destino Nº3: 7 [en miles de unidades] Destino Nº4: 9 [en miles de unidades]

10 Problema de Transporte (Ejercicio) El costo de transportar una unidad de un origen (Planta) a un Destino (Cliente) está dado por la siguiente matriz de costos [$ / miles unid]: La cantidad de variables básicas son las siguientes: n + m – 1 = 6 Primeramente hay que equilibrar el problema: Oferta 28 [miles de unidades] Demanda 31 [miles de unidades] Se crea una Oferta Ficticia, que absorberá la demanda insatisfecha, cuya capacidad será: 3 [miles de unidades] y cuyo costo de transporte hacia cualquier destino es cero [0]

11 Problema de Transporte (Ejercicio) Posteriormente, es necesario contar con una S.B.I., la cual se puede obtener mediante el Método N-W o Vogel. Solución N-W : 1234Oferta Dda

12 Problema de Transporte (Ejercicio) Solución VOGEL : 1234Oferta Dda

13 Problema de Transporte (Ejercicio) METODO DE VOGEL Paso 01. Construir una matriz de costos y de flujo asociada al problema balanceado y dirigirse al Paso 03. Paso 02. Utilice el remanente de la matriz de costos y flujos una vez que se hayan originado estas últimas. Paso 03. Calcule las Diferencias de Costos de Filas y Columnas, dadas por el valor obtenido por la sustracción entre los dos números más pequeños que haya en la fila y columna de la Matriz de Costos. Paso 04. Seleccione aquella fila o columna con la mayor diferencia, cuando se presente empates resolverlos arbitrariamente.

14 Problema de Transporte (Ejercicio) Paso 05. Seleccione el costo más pequeño en la matriz de costos en la fila o columna seleccionada del paso anterior, a esta posición se le designará como c ij. Paso 06. Sobre la posición seleccionada de la Matriz de Costos. Asigne dentro de la Matriz de Flujos: x ij = min (a i, b j ) y los nuevos límites estarán dados por: a i = a i – x ij b j = b j – x ij Paso 07. Si a i = 0, entonces llenar la fila i de la matriz de flujos con ceros a excepción de la posición de c ij y eliminar esa fila de cualquier consideración futura de la matriz de costos. Si b j = 0, entonces llenar la columna j de la matriz de flujos con ceros a excepción de la posición de c ij y eliminar esa columna de cualquier consideración futura de la matriz de costos. Volver al Paso 02.

15 Problema de Transporte (Ejercicio) PRUEBA OPTIMALIDAD (Salto de Arroyo) 1. La S.B.F. es óptima (cij – ui - vj) 0 ( i,j / xij No Básica) 2. Se tienen ( n + m ) número de incógnitas (ui vj) 3. Se tienen ( n + m – 1 ) número de Variables Básicas. 4. Se le tiene que dar a una incógnita un valor arbitrario y todas las demás se deducen de ella. 5. Determinar la celda de mayor aporte unitario (costo reducido) a la F.O. (cij – ui – vj) el valor más negativo Posición ( i, j ), que es No Básica, se le debe asignar una cantidad para que forme parte de la solución.

16 Problema de Transporte (Ejercicio) Solución TRANSPORTE (Salto de Arroyo) : 1234Oferta Dda

17 Problema de Transporte (Ejercicio) METODO DE SALTO DE ARROYO Paso 01. Construir una matriz de costos asociada a la solución Básica Factible Inicial, donde: cij = cij si xij está en la Solución Básica. cij = 0si xij no está en la Solución Básica. Paso 02. Con la nueva matriz de costos dejar expresado cada término de costo en función de las variables duales dadas a continuación: ui : Con i = 1,…,m vj : Con j = 1,…,n Utilizando posteriormente la expresión: ui + vj - cij =0

18 Problema de Transporte (Ejercicio) Esto lleva a tener (n + m) variables con (n + m - 1) ecuaciones, existiendo sólo ese mismo valor de grados de libertad. Por lo tanto, es necesario que exista una dependencia entre ellos y para lograrlo es necesario que un término dual cualquiera adquiera un valor arbitrario, de preferencia se le asigna el valor cero, quedando un sistema de (m + n - 1) ecuaciones por resolver. Paso 03. Una vez calculados las variables duales, se procede a determinar el parámetro expresado como: Si todos los términos entonces la solución es óptima.

19 Problema de Transporte (Ejercicio) Paso 04. Si la variable xij entra a la S.B.F., con un valor positivo, la oferta ai y la demanda bj se desequilibran en el valor ingresando, para equilibrar nuevamente se debe aplicar una compensación, que vaya provocando la salida de ciertas cantidades a medida que van ingresando otras. Esto provoca que se desequilibre o degenere la matriz de flujos con respecto a los límites de Oferta y Demanda dados por el problema original. Para restablecer el equilibrio es necesario que se reste y/o sume la misma cantidad, en ciertos puntos de flujos siguiendo la dirección de las manecillas del reloj, construyéndose un Circuito Único que contiene a la variable xij que entró a la base. Siguiendo el procedimiento dado a continuación:

20 Problema de Transporte (Ejercicio) Paso ···j n 1 x 1n + x 1j - 2 ··· i x in - ··· m x mn - x mn +


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